Приближенное вычисление суммы бесконечного ряда

Рассмотрим задачу, в которой требуется написать программу приближенного вычисления суммы:

1 + х/1! + х²/2! + х³/3! + …

с точностью Е.

Считается, что нужное приближение получено с заданной точностью е (эпсилон), если вычислена сумма нескольких первых слагаемых, и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше, чем данное малое положительное число Е. Тогда считается, что это и все последующие слагаемые можно уже не учитывать.
На каждом следующем шаге цикла будем максимально использовать сделанное нами на предыдущих шагах.
Если уже получено х^i-1/(i-l)!, то для вычисления xⁱ/i! достаточно умножить предыдущий результат на x/i.

Блок-схема алгоритма решения задачи приведена на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Блок-схема алгоритма приближенного вычисления суммы ряда (пример 7.1)

Пример 7.1.
Приближенное вычисление суммы бесконечно убывающего ряда

Program Summer2;
var
Eps:real; { Заданное число "эпсилон"}
X:real; { Основание степени в числителе дроби}
S:real; { В этой переменной будем накапливать сумму }
Y: real; { Для хранения очередного слагаемого }
i:integer; { Счетчик числа шагов }
begin
write('Введите X и Epsilon:');
readln(X. Eps);
Y:=l; { Первое слагаемое }
S:=Y; {Положим в сумматор первое слагаемое }
i :=0;{ Обнулим счетчик шагов }
while abs(Y)>=Eps do { Пока добавленное слагаемое не меньше "эпсилон", считаем сумму. Если "эпсилон" сразу не меньше 1, цикл, не выполнится ни разу! }
begin { Началось тело цикла }
i:=i+1; { Вычислили номер текущего шага }
Y:=Y*X/i; { Посчитали новое слагаемое }
S:=S+Y { Увеличили сумму на текущее слагаемое }
end; { Тело цикла завершилось. После этой строки компьютер перейдет на оператор while для сравнения переменной "эпсилон" с только что добавленным слагаемым }
{ Теперь выведем результат на экран }
Writeln ('Суммачисел=', S:6:4);
readln
end.

Задание 7.1.
Вычислить сумму ряда:
1/1²+ 1/3²+ 1/5²+ 1/7²+ …

Вычисления прекращаются по тому же условию, что и в примере 7.1.
Полученная сумма должна быть близка к числу п²/8.

Возведение числа в указанную целую степень

Рассмотрим задачу: возвести число а, введенное с клавиатуры, в степень n.
Задачу будем выполнять за n + 1 шаг. Например, возведем число 2 в степень 3 (2³):

0 шаг: 2⁰ =1
1 шаг: 2¹ = 2⁰ • 2 (1 • 2)
2 шаг: 2² = 2¹ • 2 (2 • 2)
3 шаг: 2³ = 2² • 2 (4 • 2)

Пример 7.2.
Возведение числа а, введенного с клавиатуры, в степеньn

Program Stp;
var Р: real; { Переменная, которая хранит результат очередного шага }
N: integer; { Показатель степени }
i: integer; { Счетчик числа шагов }
A.: real; { Основание степени }
begin
write('Введите основание степени:');
readln(A);
write('Введите показатель степени:');
readln(N);
i :=0; { 0-й шаг }
Р:=1; { 2⁰=1 }
while i<abs(N) do {.Показатель может быть отрицательным, поэтому используем для анализа его абсолютную .величину. Если показатель N=0, то в тело цикла не попадаем ни разу, так как 0-й шаг уже сделан }
begin
i:=i+l; { Увеличиваемi на 1, то есть i теперь равно номеру текущего шага }
Р:=Р*А { Получаем результат i-го шага}
end; { В переменной Р на данный момент получен результат для положительного N }
if N<0 then { Если показатель N - отрицательный, }
Р:=1/Р; {то результат должен иметь обратную величину }
writeln ('Результат=',Р:6:3);
readln
end.

Задание 7.2.
Используя цикл с предусловием, написать программу вычисления N!.

Задание 7.3.
Выполните задачу из предыдущей темы (задание 6.8), но используйте для этого цикл с предусловием. Блок-схема алгоритма вывода звездочек в верхней (2-й) строке с 3-го столбца (координата х) до 75-го столбца приведена на рис. 7.3. Продолжите блок-схему. Будьте внимательны с условиями!

Рис. 7.3. Блок-схема алгоритма вывода звездочек во 2-й строке экрана с 3-й по 75-ю позицию

Обратите внимание: нам понадобилось самим устанавливать значение х до входа в цикл и увеличивать х на 1 в теле цикла! В цикле со счетчиком это все делалось за нас в самой конструкции цикла.

Задание 7.4.
Измените в задании 7.3 в теле цикла шаг счетчика, сделав его равным 3.

Задание 7.5.
Проведите звездочки по диагонали из нижнего левого угла в верхний правый. Сначала заполните блок-схему алгоритма (рис. 7.4).

Рис. 7.4. «Слепая» блок-схема алгоритма вывода звездочек по диагонали из левого нижнего в правый верхний угол

Пояснение: координата хизменяется быстрее, чем у,, поскольку экран прямоугольный.

Задание 7.6.
Выведите в центр экрана с задержкой друг относительно друга следующие числа: 1,2,4,8,16, 32,64,128,256.
Вероятно, вы поняли, что это степени числа 2.
Заполните блок-схему алгоритма (рис. 7.5), затем напишите программу.

Рис. 7.5. «Слепая» блок-схема алгоритма вывода в центр экрана степеней числа 2 с временной задержкой

Задание 7.7.
Введите два числа (например, А = 5 и В = 8) и найдите их произведение, используя только операцию сложения. Заполните блок-схему алгоритма (рис. 7.6).

Рис 7.6. «Слепая» блок-схема алгоритма вычисления произведения двух чисел с использованием только операции сложения.

Задание 7.8.
Введите два числа (например, А = 45 и В = 8) и найдите частное от деления нацело первого числа на второе (А на В) (в переменной к) и остаток от деления нацело (в переменной А), используя только операцию вычитания. Заполните блок-схему алгоритма (рис. 7.7).

Рис. 7.7. «Слепая» блок-схема алгоритма вычисления целого частного и остатка от деления одного числа на другое с использованием только операции вычитания

Пояснение: в переменной к подсчитывайте, СКОЛЬКО раз сделана операция вычитания, то есть СКОЛЬКО раз число В содержится в числе А.