По сравнению с циклом с параметром итерационные циклы являются универсальными. Для организации итерационных циклов используются операторы цикла с предусловием while (цикл "пока") и цикла с постусловием repeat … until (цикл "до")
Эти операторы не задают закон изменения параметра цикла, поэтому необходимо перед циклом задавать начальное значение параметра с помощью оператора присваивания, а внутри цикла изменять текущее значение этого параметра.
Соответствующие структуры циклов:
while b do
begin
<операторы>
end;
repeat
<операторы>
until c;
Здесь b, c - логические выражения.
Для оператора цикла с предусловием проверяется значение логического выражения, если оно имеет значение true, то операторы, входящие в цикл, выполняются, в противном случае осуществляется выполнение оператора, следующего за циклом (рисунок 6, а).
Цикл с постусловием выполняется хотя бы один раз. Затем проверяется значение логического выражения, если оно false, то операторы, входящие в цикл, выполняются, в противном случае осуществляется выход из цикла (рисунок 6, б).
Входить в цикл можно только через его начало, т.е. нельзя входить внутрь цикла с помощью управляющего оператора, т.к. в этом случае параметр цикла не определен. Использование итерационных циклов не исключает использования обычного цикла с параметром.
а) б)
Рисунок 6 – Конструкции цикла с предусловием (а) и постусловием (б)
В задачах на использование итерационных алгоритмов реализуется тот или иной циклический процесс, который выполняется либо за заранее известное число шагов, либо до достижения некоторого условия. В последнем случае полезно подстраховаться от зацикливания ("вечного цикла"), которое может возникнуть из-за разных ошибок в программе и алгоритме, из-за некорректных данных, либо вследствие накопления погрешностей. Для этого достаточно подставить лимит числа шагов.
В итерационных алгоритмах заданная погрешность используется для проверки модуля разности найденного приближенного и точного значений, однако если последнее неизвестно, допустимо оценивать разность между соседними итерациями (приближениями), либо, например, при решении уравнений, модуля разности между левой и правой частей уравнения или при отыскании корня функции - модуля ее значения.
Часто в задачах для вычисления очередного слагаемого удобно рекуррентно использовать предыдущее слагаемое, а не использовать дополнительный цикл.
Поясним все вышесказанное на примере.
Пример. Проверить справедливость следующего разложения и оценить скорость сходимости, найдя число слагаемых, необходимое для достижения заданной погрешности e.
Подобное разложение существует для всех функций. Обычно функции раскладываются в так называемые ряды Тейлора или ряды Маклорена. Именно таким образом и происходит вычисление функций в компьютере.
Для заданного х вычислим левую часть, используя встроенную функцию eps(x), и будем вычислять частичную сумму ряда правой части до тех пор, пока она не будет отличаться от заданной левой части менее, чем на заданную погрешность. Заметим, что для вычисления каждого слагаемого ряда требуется возведение в степень (трудоемкая операция) и вычисление факториала (дополнительный цикл). Но каждое очередное слагаемое можно рекуррентно вычислить через предыдущее, просто умножив его на , что требует всего двух операций.
Program Iteration;
Const Limit=100; {ограничение на число шагов}
Var x, eps, y, s, u: real;
n: integer;
Begin
Write('Введите аргумент и погрешность');
ReadLn (x, eps);
y:=exp(x); {левая часть}
s:=1; {частичная сумма}
u:=1; {первое слагаемое}
n:=1; {число шагов}
Repeat
u:=u*x/n; {очередное слагаемое}
s:=s+u; n:=n+1;
Until (abs(y-s)<=eps) or (n>=Limit);
If n>=Limit then
Writeln(n,' шагов не хватило для достижения заданной точности')
else
begin
Writeln('Точное значение ', y:15:6);
Writeln('Приближенное значение ', s:15:6);
Writeln('Погрешность ', s:10:6,' достигнута за ', n ,' шагов');
end
End.
Владение циклическими операторами итерационного характера позволяет в полной мере реализовать защиту от некорректных исходных данных. Программа должна отвергать некорректные данные и устойчиво работать при корректных. Пусть, например, по условию нашей задачи 0<х£p, кроме того, разумно потребовать e>0. Тогда ввод значений можно организовать так:
var correct: boolean;
…
repeat
write('введите аргумент от 0 до 3.14 и положительную погрешность ');
readln(x,eps);
correct:=(x>0) and (x<=3.14) and (eps>0);
if not correct then writeln('что-то не то, повторите ввод!');
until correct;
Задание на работу
1. Выбрать вариант по последней цифре номера студенческого билета (таблица 11)
2. Функция y(x) задана двумя способами: формулой y = f(x) и ее разложением в бесконечный ряд s. Требуется вычислить точное значение yT и приближенное sзначений функций y(x) при изменении ее аргумента xот a до b с шагом Dx. Приближенное значение вычислять путем суммирования членов ряда до достижения требуемой точности e ( |yT-s | £e).
3. Разработать вариант программы, в которой каждый член ряда вычисляется по формуле n-го члена.
4. Разработать вариант программы, в которой каждое следующее слагаемое вычислять рекуррентно на основе предыдущего слагаемого
5. Предусмотреть завершение процесса суммирования членов ряда по заданному максимальному номеру члена ряда n для предотвращения зацикливания итерационного цикла.
6. Для второго варианта программы произвести расчеты для трех значений e: 0.01, 0.001 и 0.0001.
7. Результаты расчетов вывести в виде таблицы следующей формы (таблица 10).
Таблица 10 – Форма вывода результатов работы программы
и оценить скорость сходимости, найдя число слагаемых, необходимое для достижения заданной погрешности e.
до тех пор, пока она не будет отличаться от заданной левой части менее, чем на заданную погрешность. Заметим, что для вычисления каждого слагаемого ряда требуется возведение в степень (трудоемкая операция) и вычисление факториала (дополнительный цикл). Но каждое очередное слагаемое можно рекуррентно вычислить через предыдущее, просто умножив его на 
, что требует всего двух операций.
