Моделирование при обучении решению задач на движение

Рассмотрим большую группу задач, традиционно считающих­ся трудными в обучении школьников начальных классов, — это за­дачи «на движение».

Трудность этих задач для ребенка методически обусловлена дву­мя причинами.

В первую очередь, это содержательная трудность. «Скорость» -это физическая величина, связывающая две величины, которые ре­бенок уже привык за период предыдущего обучения воспринимать каждую «саму по себе»: время и расстояние (длина). Для осозна­ния каждой из них имеется либо визуальная опора (у длины, кото­рую можно непосредственно «оценить глазом»), либо уже при­вычный за три года обучения инструмент измерения — линейка, часы. «Скорость» — это абстракция, которую ребенок не может ни увидеть, ни непосредственно измерить (т. е. «оценить» хотя бы, как время). Сама запись «скорости»: км/ч, м/мин — не имеет для ребенка никаких аналогий, особенно сейчас, когда в последней редакции традиционного учебника математики не дается запись дроби. И даже если она детям известна (как в альтернативных учеб­никах), ее способ чтения ничего не дает для понимания смысла по­нятия «скорость».

Второй причиной является технологическая трудность. Долгие годы традиционный курс математики впервые знакомил детей со схемой задачи «в отрезках» именно на задачах «на движение». Ины­ми словами, без всякой предварительной подготовки к использо­ванию графической символики (обычно после 2—3 лет использо­вания задач краткой записи в качестве модели при решении), ре­бенок должен был ее освоить сразу на задачах с содержательно трудным понятием «скорость». Эти задачи появлялись во втором полугодии последнего года обучения в начальной школе, поэтому многие дети с таким трудом адаптируются к ним— они просто не успевают так быстро освоить одновременно новую величину с ее сложностями и чертеж в отрезках.

С точки зрения математической структуры эти задачи не являют­ся новым видом — это задачи на пропорциональную зависимость: расстояние (длина) прямо пропорционально скорости и времени движения; и обратно: скорость движения обратно пропорциональна времени движения при постоянном значении расстояния. Та же за­висимость наблюдается в задачах «на куплю-продажу», «на площадь», «на работу» и т. п. Однако многие учителя полагают, что задачи «на движение» представляют собой особую группу задач нового вида, и при обучении их решению нужны какие-то новые приемы. Покажем,

что заранее сформированное у ребенка умение переводить словесно заданный текст задачи на язык графики (в схему в отрезках) являет­ся универсальным приемом самостоятельной деятельности ребенка при решении задачи на движение.

Задачи «на движение», содержащие пропорциональные вели­чины, позволяют использовать как таблицы, так и схематические чертежи, причем последние являются, безусловно, более нагляд­ной моделью.

Прежде чем приступить к решению задач, содержащих такие величины, как «скорость», «время» и «расстояние», необходимо разъяснить учащимся само понятие скорости. При этом следует опираться на опыт детей, широко использовать практический и на­глядный методы.

Дети часто употребляют в своей речи слова «быстрее», «мед­леннее», не отдавая себе отчета в том, что эти слова связаны со ско­ростью (дети больше связывают их со временем). Для разъясне­ния понятия скорости можно задавать детям такие вопросы:

— Кто быстрее преодолеет данное расстояние: автомобилист или велосипедист, велосипедист или пешеход?

— Как вы понимаете слова «быстрее пройдет данное расстояние?»

- Чаще всего ответ учащихся связан со временем: «Пройдет за меньшее время».

- А почему он пройдет за меньшее время? (Он проходит в час расстояние большее.) Значит, его скорость больше.

Понятие о скорости конкретизируется в процессе решения за­дач, например, таких:

Пешеход за 3 ч прошел 15 км. В каждый час он проходил одинаковое расстояние. Сколько километров пешеход прохо­дил в час?

Разбор задачи следует сопровождать графической моделью, на которой обозначаются данные задачи: обозначим все расстояние отрезком и отметим, что это расстояние он прошел за 3 часа:

Поскольку главная трудность при решении таких задач состоит в том, что неподвижная картинка является моделью равномерного непрерывного процесса (движения), в рисунок принято вводить стрелку, символизирующую это движение и его направление.

- Можно ли найти на чертеже точку, в которой окажется пеше­ход через час? Через 2 часа?

- Покажите, откуда он вышел? Где пешеход окажется через три часа?

— Что можно сказать о длинах трех отрезков? (Они равные, так как за час пешеход проходил одинаковое расстояние.)

- Как найти это расстояние? (15:3.)

— А можно ли узнать, сколько километров пройдет пешеход за 4 ч (за 5 ч, за 6 ч) двигаясь с той же скоростью?

- За какое время он может пройти расстояние в 35 км (40 км), если будет двигаться с той же скоростью?

Поиск ответов на такие вопросы поможет ученикам глубже осоз­нать пропорциональную зависимость между скоростью, временем и расстоянием.

Электропоезд за 10 мин прошел 20 км, проходя каждую ми­нуту одинаковое расстояние. Сколько километров проходил электропоезд в одну минуту?

Спортсмен преодолел 100 м за 10 с, пробегая за каждую секунду одинаковое расстояние. Сколько метров он пробегал за одну секунду?

При решении таких задач учащиеся знакомятся с различными единицами скорости, усваивают, что скорость — это расстояние, пройденное в единицу времени.

Для закрепления понятия скорости можно использовать и та­кие задания:

— Объясните, как понимать следующие выражения: «скорость самолета 810 км/ч», «скорость электропоезда 120 км/ч», «скорость лыжника 18 км/ч», «космический корабль летит со скоростью 7200 м/с».

Для того чтобы учащиеся осознали зависимость между скоро­стью, временем и расстоянием, целесообразно рассматривать сра­зу по три взаимообратные задачи, оформляя их в таблицу.

Можно предлагать задание:

Составьте три взаимообратные задачи по этой таблице.

Графическое моделирование является наиболее эффективным и це­лесообразным приемом при решении большинства задач на движение. Рассмотрим задачи:

Поезд прошел некоторое расстояние за 10 час. С какой ско­ростью шел поезд?

Строим графическую модель:

10ч

Одного взгляда на чертеж достаточно, чтобы обнаружить, что для ответа на вопрос не хватает данных: не дано расстояние.

Скорость велосипедиста 15 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 ч?

Типичной ошибкой учащихся при решении данной задачи яв­ляется неправильный выбор действия (15:3).

Построение графической модели предупреждает эту ошибку:

15 км/ч .

Чертеж показывает, что для нахождения расстояния нужно взять по 15 три раза: 15 • 3 = 45 (км).

Совершая экскурсию по реке на катере, школьники проплы­ли 66 км. При этом 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч, а ос­тальной путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько всего времени находились в пути школьники?

Если учитель планирует фронтальный разбор этой задачи, он может воспользоваться таблицей, которую заполняет в процессе разбора текста с детьми. Графическая модель к этой задаче являет­ся более наглядной и удобной для выполнения в тетради — по ней легко определить путь решения:

-66км-

18км 18 км 1

15км... ? часов •

Мотоциклист ехал 3 ч со скоростью 60 км/ч и 2 ч со ско­ростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал он за все это время?

В процессе разбора текста и вычленения данных целесообразно составить графическую модель:

60 6.0 60 70 70

1 км-

Опираясь на чертеж, легко составить к этой задаче выражение: 6-3 + 70-2.

Туристы за день прошли пешком 18 км и проехали 2 ч на автобусе со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали тури­сты за день?

Таблица к данной задаче выглядит таким образом:

При разборе задачи она фактически не работает, поскольку не­известные скорость и время в первой строке не нужны для реше­ния задачи, в то время как использование графической модели по­может учащимся быстро найти решение:

При решении некоторых задач полезно часть условия записать в виде таблицы, а затем применить прием графического моделирования.

Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вы­шли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них может пройти это расстояние за 20 ч, другой — за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?

Анализ таблицы дает возможность найти скорость поездов:

1. 1200 : 20 = 60 (км/час)

2. 1200 : 30 = 40 (км/час)

После этого строится графическая модель:

40 км/ч

? часов

, 60 км/ч

-1200 км-

Чертеж дает наглядное представление о движении поездов на­встречу друг другу, облегчая поиск дальнейшего пути решения.

Расстояние от города до поселка велосипедист проехал за 3 ч со скоростью 16 км/ч. Возвращаясь обратно, он то же рас­стояние проехал за 4 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на обратном пути?

Для решения задачи можно использовать как графическую мо­дель, так и таблицу.

Графическая модель: 16

Визуальный анализ рисунка подсказывает путь решения задачи, при этом сразу, еще до решения можно сказать, что скорость во втором случае будет меньше — это подсказывает рисунок.

После решения задачи полезно обратить внимание учащихся на взаимозависимость скорости и времени (чем больше скорость, тем меньше времени будет затрачено на дорогу, и наоборот). Для этого можно предложить сравнить скорость движения велосипе­диста и подумать, почему на обратный путь велосипедист затра­тил больше времени. (Потому, что скорость была меньше.)

Особое место в этой группе занимают задачи на движение в про­тивоположных направлениях (на сближение и удаление).

При их решении целесообразно использовать графическую мо­дель, так как она дает наглядное представление о характере движе­ния и во многом облегчает поиск решения задачи.

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу. Через 4 ч они встретились. Скорость первого пешехода 5 км/ч, скорость второго — 6 км/ч. На каком расстоянии пер­воначально находились пешеходы друг от друга?

При составлении графической модели необходимо довести до понимания учеников тот факт, что оба пешехода находились в пу­ти одинаковое время.

С этой целью на подготовительном этапе можно предложить ряд таких заданий:

Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг дру­гу и встретились через 7 ч. Сколько времени находился в пути каждый автомобиль?

Коля и Таня вышли одновременно в школу каждый из сво­его дома. Через 10 мин они встретились в школе. Сколько ми­нут был в пути Коля? Сколько минут была в пути Таня?

Такого рода задания помогут учащимся осознать характерный момент задач на встречное движение: одинаковое время в пути для обоих сближающихся объектов (или удаляющихся).

Графическая модель уже визуально наводит учеников на два способа решения этой задачи:

Скорость сближения

I.

-?км-

II. 1)6 + 5 = 11 (км/ч) 2) И -4 = 44 (км)

1)5 -4 = 20 (км)

2) 6 *-4 = 24 (км)

3) 20 + 24 = 44 (км)

При решении задачи вторым способом можно ввести термин «скорость сближения», разъяснив его по графической модели. Учитель может сдвигать одновременно навстречу друг другу фи­гурки пешеходов, каждый раз на одно деление. Это значит, что про­шел 1 час пути.

— На сколько приблизились (сблизились) друг к другу за 1 час пешеходы? (На 5 + 6=11 км/ч)

Обращаем внимание детей на то, что складываются скорости, поэтому в наименовании ответа тоже скорость.

Далее учащиеся рассуждают так: «За 1 ч пешеходы сблизились на 11 км; за 4 ч они сблизятся на 11-4 км».

Работая с данной задачей, целесообразно использовать раз­личные методические приемы и прежде всего рассмотреть задачи обратные данной. Их можно предложить в графическом виде, об­легчающем детям самостоятельное составление обратной задачи:

5 км/ч

-44 км-Составьте по чертежам три обратные задачи.

После рассмотрения обратных задач можно предложить уча­щимся вопросы:

- Ближе к какому пункту произойдет встреча?

Если в задаче даны обе скорости, то с помощью готового чертежа или при его выполнении полезно выяснить, почему пункт встречи находится ближе (или дальше) к одному из пунктов отправления, чем к другому. Если сначала известна только одна из скоростей, то данный вопрос полезно задать уже после решения задачи.

— Какое расстояние будет между пешеходами через час после встречи, если они продолжали двигаться в тех же направлениях?

Обратим внимание детей на то, что «скорость сближения» рав­на «скорости удаления».

- Могли ли пешеходы встретиться в середине пути?

- Кто из них придет в конечный пункт первым?

Можно использовать целый ряд приемов с целью подготовки учащихся к решению более сложных задач. Например, можно из­менить данные в условии задачи и предложить детям составить задачу по такому чертежу:

5 км/ч .. ^-- ? --^ ^ 6 км/ч

60км-

— Поставьте вопрос к задаче по рисунку (На какомрасстаяши друг от друга будут находиться пешеходы через 4ч?)и решите задачу.

Выполнение задания такого рода формирует умение читать чер­теж, умение трансформировать (видоизменять) условие и решать задачи усложненного вида.

Аналогичный прием постепенного усложнения условия можно использовать и при решении задач на удаление в противополож­ных направлениях.

6. Влияние графического моделирования на формирование умения решать задачи разными способами

Среди различных видов работы над уже решенной задачей (ра­бота над задачей после ее решения) особое место занимает реше­ние задачи другим способом. Хотя в начальной школе выбор раз­личных способов решения задачи в большинстве случаев связан с использованием свойств арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления), следует стремиться к тому, что­бы учащиеся сознательно выбирали наиболее рациональный из из­вестных им способов.

Решение задач различными способами способствует развитию логического мышления и математических способностей учащихся.

Ранее уже говорилось, что эффективным способом отыскания раз­личных способов решения задачи является ее графическое модели­рование. Происходит это потому, что строя графические модели задачи, мы освобождаем учащихся от восприятия несущественных особенностей условий, представляем существенные особенности в наглядной форме и тем самым помогаем детям установить все возможные связи и зависимости между величинами, что, в свою очередь, облегчает детям нахождение различных способов решения. Приведем несколько примеров работы над такими задачами и покажем, как при этом графические иллюстрации облегчают нахождение путей их решения различными способами. Иными сло­вами, графическая модель задачи сама по себе является средством подведения ребенка к пониманию того, что задача может быть ре­шена разными способами.

Мама купила 2 батона, по 8 рублей каждый. В кассу она по­дала 20 рублей. Сколько сдачи должна получить мама?

Схема к данной задаче подводит учащихся к одному способу решения:

По этой схеме дети составляют выражение: (20 - 8) - 8. Второй способ решения на этой схеме не просматривается. Если же использовать графическую модель в отрезках, то на ней явно видны оба способа решения:

1.20-(8+ 8)

2. 20 - 8 - 8

На примере таких задач удобно показывать детям необходи­мость постепенного перехода к более высоким ступеням графиче­ской абстракции при решении задач: чем абстрактнее модель, тем больше «степеней свободы» она имеет.

Девочка нашла 36 грибов, а мальчик 28. Среди этих грибов оказалось 3 несъедобных. Сколько съедобных грибов нашли дети?

Графическая модель данной задачи дает возможность по одно­му рисунку составить все три возможные решения задачи:

1) (36 + 28) - 3

2) (36 - 3) + 28

3) (28-3)+ 36 3 ——?

Схематические изображения для каждого способа решения на­до делать разные. В данной задаче их полезно сделать по готовым решениям и объяснить ход мысли при составлении каждой схемы.

Например:

Рассуждение:

Сначала дети высыпали все грибы вместе на полянку, а затем ото­брали три несъедобных и выбросили. Значит сначала найдем, сколь­ко грибов было всего, а затем отнимем несъедобные — их было 3.

В магазин привезли 12 ящиков с яблоками по 8 кг в каж­дом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколь­ко килограммов яблок осталось продать после обеденного пе­рерыва?

Анализируя текст, строим графическую модель.

— Обозначим отрезком все ящики с яблоками, которые привез­ли в магазин.

— Сколько килограммов яблок было в каждом ящике? (8 кг.) Обозначим это на чертеже.

- Сколько ящиков продано? (9.) Обозначим на чертеже эти 9 ящиков. Покажите на чертеже те ящики, что остались.

- Что надо узнать в задаче? (Сколько кг яблок осталось.) Обозначим на рисунке искомое знаком вопроса.

-12 ящ. по 8 кг

• 9 ящ. по 8 кг

По чертежу легко увидеть различные способы решения:

1 способ: 8 • 12 - 8 • 9 = 24 (кг)

2 способ: 8 • (12 - 9) = 24 (кг)

Роль графической модели при нахождении разных способов ре­шения задач «на движение» была показана выше.

23*

В заключение приведем несколько нестандартных задач, на при­мере которых можно со всей убедительностью показать высокую практическую эффективность графической модели как опоры для осознанных мыслительных действий при решении задачи.

Девочка сыграла на чемпионате школы 22 партии в шахма­ты. 2 партии она проиграла, а из остальных на каждые 2 пар­тии вничью, у нее 3 выигранных. Сколько побед у девочки?

Обозначим на модели нулем — ничью, плюсом — выигрыш. Если начертить отрезок длиной 22 клетки, то задачу можно решить гра­фическим способом, подсчитав по рисунку количество выигрышей.

Опора на графическую модель приводит к следующим выводам:

а) выигрышей 3-4 = 12;

б) проигрышей 2-4 = 8.

Внук спросил дедушку: «Сколько тебе лет?» Дедушка от­ветил: Если проживу еще половину того, что я прожил, да еще один год, то мне будет сто лет. Сколько лет дедушке?

1 год

100 лет

Анализируя графическую модель, получаем решение:

1) 100 - 1 = 99 (лет)

2) 99 :3 - 33 (года)

3) 33- 2 = 66 (лет)

Мама купила 4 кг яблок. Расплачиваясь за них, она получила 40 рублей сдачи. Если бы мама купила 6 кг яблок, то ей при­шлось бы доплатить 40 рублей. Сколько стоил 1 кг яблок?

Анализ графической модели приводит к выводу, что цена 1 кг яб­лок 40 рублей.

Сумма трех чисел равна 18. Первое число в 2 раза больше второго, а второе в 3 раза меньше третьего. Найдите эти числа.

I- 18

Анализируя графическую модель, получаем: I число • 3; III число-9.

- 6; II число

Обучение младших школьников решению задач — процесс дли­тельный, методически неоднозначный и сложный даже для учите­лей с большим стажем работы. Опыт работы автора данного посо­бия в системе повышения квалификации учителей подтверждает это. С целью более детального анализа всех видов встречающихся в курсе математики начальных классов задач и подробного анали­за методики работы с ними, автором данного пособия была напи­сана книга для учителя «Обучение решению задач в начальных классах» (М., 2003). При подготовке к практическим занятиям, а также при подготовке к выходу на учебную практику в школу студентам рекомендуется обратиться к этой книге. В ней рассмот­рены методика работы над всеми типовыми и производными от типовых задач, встречающимися в различных учебниках для начальных классов, а также вопросы обучения решению задач по­вышенной сложности при проведении факультатива или кружка по математике.