Структурирование при цифровом моделировании.

Как уже отмечалось, для успешного моделирования (особенно сложных систем) желательно в той или иной мере структурировать объект. Для этого объект разбивается на блоки.

Разумеется, можно использовать традиционный путь: используя структурную схему системы регулирования, свернуть её по правилам теории автоматического регулирования (ТАУ), получить общую передаточную функцию, а затем получить общее уравнение. Однако это не будет наглядной моделью отражающей физическую реальность.

Для сравнения выберем два варианта составления дифференциальных уравнений: по отдельным звеньям и по связи их в общую цифровую модель.

В качестве примера возьмём систему второго порядка состоящую из двух апериодических звеньев, которая можнт быть представлена в свёрнутом (рис. 37) и развёрнутом (рис. 38) виде.

Рис. 55 Система регулирования в свёрнутом виде.

Рис. 56 Система регулирования в развёрнутом виде.

I. Выведем передаточную функцию системы представленной на рисунке 37:

(79)

или

(80)

Известно, что уравнение высшего порядка может быть сведено к системе уравнений первого порядка.

Переход во временную область:

(81)

Введём вспомогательную переменную:

(82)

с учётом вспомогательной переменной перепишем уравнение (81)

(83)

Таким образом, записав передаточную функцию и выполнив подстановку вспомогательной переменной, получим систему дифференциальных уравнений описывающих свернутую систему второго порядка:

(84)

Аналогично можно составить систему уравнений для более высоких порядков.

Необходимо отметить, что замена переменной справедлива в том случае, если в числителе передаточной функции нет оператора , его наличие вызывает осложнение при выводе общего уравнения.

II. Запишем систему уравнений для развёрнутой системы представленной на рисунке 38.

(85)

Используя передаточные функции (см. (85)) выведем математическое описание в операторной форме:

(86)

Переход во временную область для представления математического описания в форме дифференциальных уравнений:

(87)

Математические описания (84) и (87) по форме эквивалентны. Для доказательства эквивалентности необходимо ввести в систему (87) промежуточную переменную . После соответствующих преобразований система (87) будет полностью эквивалентна системе уравнений (84).

Составление уравнений по звеньям имеет преимущество, т.к. не требуется вводить вспомогательные переменные; и составление уравнений по звеньям имеет наглядность физических процессов протекающих в отдельных структурах.

Выбор вспомогательных переменных для передаточных функций, содержащих оператор в числителе

Оператор содержится в числителе таких передаточных функций, как форсирующие звенья. Передаточная функция форсирующего звена:

(88)

или

(89)

Во временной области:

(90)

В принципе это уравнение применять нежелательно, т.к. в правой части содержится производная входного сигнала, которую необходимо вычислять численным методом, либо нужна функциональная зависимость входного сигнала от времени и тогда производную можно задать аналитически. К тому же такое уравнение обычными заменами переменных не сможем привести к форме Коши.

Уравнение (89) разделим на оператор :

(91)

Введём замену переменных:

(92)

(93)

или

(94)

(95)

Выполнив замену переменных и осуществив переход во временную область, получим математическое описание форсирующего звена состоящую из двух дифференциальных и одного алгебраического уравнений:

(96)

По функциям и находят искомую функцию .

Как уже отмечалось, выбор промежуточных переменных позволяет получить различную форму записи дифференциальных уравнений.

Например, в методе переменных состояний используется следующий подход для вывода дифференциальных уравнений. Используем передаточную функцию (88), преобразуем её:

(97)

Введём вспомогательную функцию:

(98)

Следовательно,

(99)

и

(100)

введём дополнительную вспомогательную переменную , получим:

(101)

Выразим Е через х (см. выражение 100):

(102)

Окончательно система запишется в виде:

(103)