Активный эксперимент

Факторами активного эксперимента называют переменные, по которым возможно проводить управление и которые участвуют в построении модели (х_i).

Каждый из факторов может принимать различные значения, которые называются уровнями. На практике, количество уровней – это бесконечное количество или непрерывный ряд уровней . В теории активного эксперимента этот ряд дискретизируется, и выбираются отдельные уровни:

Фиксированный набор уровней называется состоянием факторов.

План – это программа проведения эксперимента, позволяющая использовать все факторы на всех уровнях. Если план содержит всевозможные сочетания факторов и уровней, то такой план называют полным.

Если р – общее количество уровней; к – количество факторов, то полный план эксперимента будет включать в себя следующее количество экспериментов:

.

Пример: к = 3, р = 4, то N = 4³ = 64 - эксперимента.

Полный план позволяет построить адекватную модель, но требует большого количества экспериментов. Поэтому на практике применяют усеченные планы, так называемые дробные планы, которые имеют количество экспериментов меньше, чем полный план, но с достаточной долей точности могут определить адекватность модели.

Любая модель определяется по формуле:

,

где [XX^T]^-1 = M – называется информационной матрицей.

1. Если информационная матрица ставится по принципу минимизации определителя, то выбранный план эксперимента будет называться D – планом.

2. Если минимизируется след матрицы, то такой план называется А – планом.

3. Условием задания Е – плана является выбор плана таким, чтобы максимальное собственное число матрицы М было минимальным.

На практике чаще строятся D – планы.

Построение D – плана

Основным условием D – плана является то, что план будет отвечать условию оптимальности, если информационная матрица М будет диагональной.

Пример: р = 2, к = 3,

Соответственно, полный план будет иметь вид:

2³ = 8

Тогда, с учетом этого условия, выбирается некий дробный план:

2^3-1 = 4

т.е. откидываем любую переменную (x₃) и план уменьшается на 4 единицы. Для оставшихся двух переменных строится полный план, а x₃ считается равной

.

Построенный по такому принципу D – план отвечает условиям D – оптимальности, при этом переменная x₃ называется генератором дробного плана.

Для двухуровневой систем количество экспериментов равно 2^к-N , где N<к, а оставшиеся генераторы плана составляются следующим образом: как результаты поэлементного умножения основных факторов, при этом количество множителей составляет от 2 до N-к.

Пример: 2^6-4

Выбор двух уровней из непрерывного ряда уровней:

-1 – начало уровней x_0i;

+1 – конец уровней x_ni.