1. Выбирается из числа существующих или создается специальный объект - модель с математическим описанием
F(yм, xмi, tмj, PMi) =0,
сходственным с описанием оригинала.
2. Определяются критерии подобия для оригинала и модели pо и pм.
3. Составляются в общем виде масштабные уравнения на основе выражений для критериев подобия
pо / pм = 1
4. Вводятся масштабы сходственных переменных yo и yм, xoi и xмi, toj и tмj и масштабным уравнениям придается окончательный вид.
Масштабы можно принять равными
my = yO / yM; mxi = xOi / xMi; mtj = tOj / tMj
5. Анализируется система масштабных уравнений. Зависимые уравнения из системы исключаются. Установление противоречивости системы масштабных уравнений означает невозможность подобия.
6. Выбираются конкретные численные значения масштабов с учетом реальных предельных значений сходственных переменных.
7. Устанавливаются условия однозначности модели, подобные условиям однозначности оригинала.
8. Рассчитываются функциональные зависимости xМi = xМi(tМj, xОi = xОi(tОj).
Пример: требуется подвергнуть моделированию некоторый материальный объект, описываемый уравнением
, (2.71)
где j1 и j2 - угловые величины, измеряемые в радианах; t - время в секундах.
1. В качестве объекта - модели выбирается математический аналог (генератор линейно изменяющегося напряжения), описываемый сходственным уравнением
, (2.72)
где u1, u2 - напряжения постоянного тока, измеряемые в вольтах; t - время в секундах.
Полагаем в (2.71) t = tO, а в (2.72) t = tМ и вводим операторы дифференцирования DO = d /dtO, DM = d / dtM. Тогда уравнения (2.71) и (2.72) примут вид дифференциальных уравнений первого порядка
DOj2 = j1, DMu2 = -2u1
с нулевыми начальными условиями. Множитель при j1 в первом уравнении, равный единице, имеет размерность 1/с (!).
2. Приведя дифференциальные уравнения к безразмерной форме
определяем критерии подобия
.
3. Составляется в общем виде масштабное уравнение
.
Отсюда следует, что в одной из двух пар сходственных переменных j1 и u1 или j2 и u2 переменные должны иметь разные знаки.
4. Вводим масштабы
и получаем масштабное уравнение в окончательном виде
6. Согласно полученному масштабному уравнению можно принять m1 = 2B-1, m2 = 10B-1. Тогда mt= 10. При таком масштабе времени процессы, происходящие в модели, аналогичны по форме процессам в оригинале, но протекают в 10 раз быстрее.
7. Нулевые начальные условия являются подобными условиями однозначности при любых масштабах.
8. Для расчета функции u1 = u2(tM), подобной заданной функции j1 = j2(tO), имеем
или окончательно
В данном случае материальная подобная модель, согласно вышеприведенной терминологии, является формальной.
Классификация видов подобия и моделирования
Схема классификации (рис.10) основывается на взаимосвязи понятий моделирования и подобия, в соответствии с которой модель и оригинал находятся между собой в отношении подобия (подобны друг другу).
Классификация указывает, какие виды подобия и соответствующего им моделирования могут быть использованы при решении практических задач.
Первоначально виды подобия и моделирования разделяются по признаку полноты учёта и воспроизведения на модели параметров оригинала и процессов в нём. То есть разделяются на полное и неполное подобие, и на соответствующие им виды моделирования (полное и неполное). Как полное, так и неполное виды подобия могут быть приближёнными.
Далее виды моделирования разделяются на мысленное (I. Теоретическое, II. Аналитическое) и материальное в зависимости от способа их материальной реализации.
I. Мысленное теоретическое моделирование – это моделирование на основе мысленных представлений, т.е. построение модели происходит в сознании человека.
II. Мысленное аналитическое – это моделирование использующее аппаратуру для подтверждения мысленных представлений.
Материальное моделирование – это реально-практический вид моделирования. Как мысленное, так и материальное виды моделирования могут быть либо детерминированными, т.е. предполагающие отсутствие случайных воздействий (возмущений); либо стохастическими, т.е. отображающие вероятностные события; либо обобщёнными, т.е. отображающие оригинал (явления происходящие в нём) условно.
В свою очередь мысленное моделирование подразделяется на наглядное, знаковое и математическое мысленное.
Наглядное моделирование – создание наглядных моделей, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте.
К этому виду моделирования относятся:
гипотезы (это мысленные представления) в форме воображаемых моделей. Например, модели атомов. Гипотетическое моделирование используется, для построения формальных моделей.
Рис. 3. Классификация видов подобия и моделирования.
2. Наглядные аналоги. Например, модель атома созданная мысленно, но реализована материально.
Рис.15 Классификация видов подобия и моделирования
Макеты. Например, уменьшенная копия здания, т.е. макет – это модель, дающая геометрическое подобие.
Знаковое моделирование – создание модели, основные свойства которой выражаются с помощью системы знаков или символов, т.е. вводятся условные обозначения отдельных понятий знаками. Например, формула химического соединения.
Знаковое моделирование разделяется:
· Моделирование на основе условно-знаковых представлений. Например, если состояние или соотношение химических элементов во время реакции описать в виде условных знаков, то получим модель химической реакции, которая будет представлена условно;
· Моделирование на основе топологических представлений;
· Моделирование на основе графовых представлений.
Математическое мысленное моделирование – это моделирование на основе схем замещения, алгоритмов и программ, а также структурных схем. Этот вид моделирования устанавливает связь между логическим и чувственным, т.е. подкрепляет абстрактное мышление привычными образами, которые помогают исследователю воспринять и анализировать явления.
Схемы замещения. Например, схемы замещения трансформаторов и электродвигателей, которые отображают математические уравнения и их физическую интерпретацию с помощью более простых и наглядных объектов. Возьмём, к примеру, схему замещения преобразователь - двигатель постоянного тока:
Рис. 16 Схема замещения преобразователь – ДПТ
где eд – противо-ЭДС двигателя.
Структурные схемы – это схемы, отражающие функциональные связи между подсистемами сложных систем. Например, структурная схема ДПТ:
якорная цепь механическое звено
Рис. 17 Структурная схема преобразователь – ДПТ.
Алгоритмы и программы – моделирование условными знаками процессов описанных дифференциальными уравнениями. Например, система дифференциальных уравнений описывающих преобразователь – ДПТ:
(4)
Натурное моделирование – это моделирование предполагающее проведение исследований на реальном объекте. По виду подразделяются на:
· производственный эксперимент – эксперимент, проводимый во время производственного процесса на действующем предприятии, может рассматриваться как модель, отвечающая задачам производства, его развития и совершенствования;
· обработку и обобщение натурных данных, т.е. сведений о явлениях или процессах, происходящих в натуре, с целью построения соответствующих моделей;
· моделирование путём обобщения производственного опыта, в отличии от моделирования на основе производственного эксперимента (который специально организуют) пользуются имеющимся материалом. Например, в отделах главных энергетиков любого предприятия скапливаются данные о потреблении предприятием электрической энергии. Накопление этих данных специально не планировалось, но на их основе можно построить модель динамики потребления электроэнергии предприятием.
Физическое моделирование – это вид моделирования, при котором исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием.
1. временное моделирование – если исследуются процессы протекающие во времени;
2. пространственный вид моделирования – если моделирование предназначено для изучения процессов, действие которых не рассматривается во времени, а только в пространстве;
3. временное - пространственное – объединяет в себе понятия временного и пространственного видов моделирования.
Математическое материальное. Это вид моделирования, при котором физика процессов не сохраняется. Основа его состоит в способности математических уравнений описывать объекты, процессы и т.д.
, (2.71)
, (2.72)
.
.
(4)