Задача оптимальной загрузки оборудования

Предприятию нужно выпустить продукции П₁ по плану N₁ единиц, продукции П₂ – N₂ единиц, и так далее, продукции П_k – N_k единиц. Продукция обрабатывается на взаимозаменяемом оборудовании В₁, В₂, …, В_т различной мощности. Также известны следующие величины: a_ij – норма времени на обработку единицы продукции i-го вида на оборудовании j-го вида; А_j – фонд времени оборудования j-го вида, с_ij – себестоимость обработки продукции i-го вида на оборудовании j-го вида. Спланировать выпуск продукции П_j, чтобы себестоимость ее была наименьшей и план выпуска продукции был выполнен.

Для построения экономико-математической модели условие задачи удобно представить в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Вид оборудования	Себестоимость обработки продукции i-го вида на оборудовании j-го вида	Фонд времени оборудования
Вид продукции
П₁	П₂	…	П_k
В₁	а₁₁	а₁₂	…	а_1k	А₁
В₂	а₂₁	а₂₂	…	а_2k	А₂
…	…	…	…	…	…
В_т	а_т₁	а_т₂	…	а_тk	А_т
План выпуска продукции	N₁	N₂	…	N_k

Обозначим х_ij – количество продукции i-го вида, которая обрабатывается на оборудовании j-го вида.

Фактические затраты времени на обработку всей продукции П₁ на оборудовании В₁ составят а₁₁х₁₁, на обработку всей продукции П₂ на оборудовании В₁ – а₁₂х₁₂, и, так далее, на обработку всей продукции П_k – а_1пх_1п. Общие затраты времени на обработку всей продукции на оборудовании В₁ можно представить в виде суммы:

а₁₁х₁₁ + а₁₂х₁₂ + … + а_1kх_1k.

Поскольку фактические затраты времени не могут превышать отведенные фонды, то эта сумма не должна превышать А₁, т.е.

а₁₁х₁₁ + а₁₂х₁₂ + … + а_1kх_1k А₁.

Проведя аналогичные рассуждения для всех оборудования, получим остальные неравенства системы ограничений:

а₂₁х₂₁ + а₂₂х₂₂ + … + а_2kх_2k А₂,

……………………………….

а_т₁х_т₁ + а_т₂х_т₂ + … + а_тkх_тk А_т.

Поскольку по условию задачи план должен быть выполнен, то имеем систему ограничений:

х₁₁ + х₂₁ + … + х_m₁= N₁.

х₁₂ + х₂₂ + … + х_m₂= N₂,

…………………………

х_1т + х_2т + … + х_тk= N_k.

К системе ограничений также должны быть добавлены требования неотрицательности переменных х_ij, поскольку количество продукции любого вида не может быть отрицательным.

Общая себестоимость обрабатываемой продукции равна

z = c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+…+c_1kх_1k+c₂₁х₂₁+c₂₂х₂₂+…+c_2kх_2k+…+c_т₁х_т₁+c_т₂х_т₂+…+c_тkх_тk.

Таким образом, задача заключается в нахождении таких переменных х₁, х₂, …, х_п, которые удовлетворяют системе ограничений

и обращают функцию себестоимости в минимум.