Градиент

Пусть задана функция в трехмерном пространстве. Вектор с проекциями на оси

(8.2.1)

называется градиентом функции и обозначается

Здесь есть частная производная функции по переменной ,

Это формальное определение имеет недостаток, поскольку использует координатные оси и оставляет открытым вопрос о независимости понятия градиента от их выбора. Чтобы убедиться в этой независимости, рассмотрим определение производной от функции по заданному направлению : , которая выражает скорость возрастания функции по направлению . Если через обозначить единичный вектор, проведенный в этом направлении, то

Здесь – скалярное произведение вектора на вектор ,

– проекция вектора на направление (см. рис. 8.2.2).

Наибольшего значения эта производная, очевидно, достигает в том случае, когда , то есть, когда направление градиента совпадает с направлением .

направление

Рис.8.2.2. Иллюстрация максимальности скалярного произведения

векторов при совпадении их направлений

Таким образом, градиент скалярной функции – это вектор, который по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания функции .

Для знакомых с понятием нормали к поверхности легко усмотреть, что направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня , проходящей через данную точку.

Рассмотрим примеры градиентов различных функций.

Пример 1. . (Воронка коническая с центром в начале координат). Очевидно, что линии уровня представляют собой концентрические круги для разных значений константы .

Имеем .

Соответственно, .

(x₁,x₂) 2x₂

2x₁

Рис. 8.2.3. В данном примере градиент показывает, что в зависимости от местонахождения (x₁,x₂),быстрее всего выбираться из воронки можно в направлении от ее центра.

Пример 2. . (Плоская поверхность). Очевидно, что линии уровня представляют собой параллельные прямые для разных значений константы .

Имеем .

Соответственно, .

Здесь (при линейной целевой функции) направление градиента не зависит от точки, в которой он вычисляется. На наклонной плоской поверхности все линии уровня параллельны друг другу, подъем быстрее всего осуществляется поперек линиям уровня в постоянном направлении градиента.

Итак, в задачах линейного программирования координаты вектора градиента целевой функции равны коэффициентам при переменных этой функции .

Рис. 8.2.4. Взаиморасположение линий уровней и градиента для плоской поверхности

В заключение следует сказать, что понятие градиента легко обобщается на случай -мерной функции .

Понятие линии уровня обобщается понятием поверхности (трехмерный случай) и гиперповерхности ( ).