МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Задания для индивидуального выполнения (виды функций граничных условий):

Таблица 17.

Вариант	f1(x)	f2(x)	f3(y)	f4(y)

Окончание таблицы 17.

Вариант	f1(x)	f2(x)	f3(y)	f4(y)

2.8. Решение задач одномерной оптимизации

Цель работы: освоение методов решения задач одномерной безусловной оптимизации.

Под задачей одномерной оптимизации понимается поиск точки экстремума некоторой функции F(x), называемой целевой. Практический смысл целевой функции зависит от содержания задачи.

1. Пример постановки задачи оптимизации.

Необходимо спроектировать корпус химического реактора в форме цилиндра длиной L и радиусом R, закрытого с торцов крышками полусферической формы. Крышки присоединяются к корпусу с помощью фланцев шириной b. Размеры реактора должны быть такими, чтобы при заданном объеме V₀ на его изготовление уходило минимальное количество материала (если толщина стального листа всюду одинакова, то минимальный расход материала соответствует минимальной общей площади поверхности всех частей корпуса).

2. Математическая постановка задачи.

Рис. 28 Схема устройства корпуса реактора.

Объем реактора можно выразить, как сумму объемов цилиндра и двух торцевых полушарий

, (2.46)

площадь его поверхности – как сумму площади боковой цилиндрической поверхности и площадей двух торцевых полусфер

. (2.47)

Площадь каждого из четырех фланцев – это площадь кольца внутренним радиусом R и шириной b

. . (2.48)

Тогда общая площадь всех частей корпуса

. (2.49)

Используя выражение объема, можно исключить из формулы для S одну из неизвестных величин, например L

. (2.50)

Тогда задача сводится к отысканию минимума целевой функции

(2.51)

Классический метод решения задачи одномерной оптимизации состоит в приравнивании нулю производной от целевой функции и решении полученного таким образом уравнения. Однако такой метод применим только тогда, когда целевая функция имеет относительно простой вид. Часто вид функции оказывается настолько сложным, что выражение ее производной слишком громоздко, а полученное уравнение невозможно решить точно. В этом случае прибегают к приближенным методам отыскания численного значения экстремума целевой функции.

Для определенности будем рассматривать поиск минимума целевой функции. Если ставится задача поиска максимума функции F(x), ее можно заменить эквивалентной задачей отыскания минимума функции F₁(x) = - F(x).

Решение начинается с определения отрезка оси Ох, внутри которого целевая функция непрерывна и имеет единственный локальный минимум (точкой локального минимума не должна быть крайняя точка отрезка!). Такой отрезок называется отрезком унимодальности функции. Проще всего определить его графически. Отыскание точки минимума сводится к последовательному сужению отрезка унимодальности до тех пор, пока его длина не сравняется с допустимой погрешностью расчета. Тогда любая точка внутри отрезка унимодальности будет с этой погрешностью определять искомую точку минимума.

3. Методы решения задачи оптимизации.

Основным методом решения задачи одномерной оптимизации является метод дихотомии (последовательного разрезания надвое). В наиболее общем варианте этого метода внутри отрезка унимодальности [A, B] берутся две произвольных точки C и D (рис. 29). В этих точках вычисляются значения функции. После этого от отрезка отбрасывается его часть, лежащая между точкой, в которой значение функции получилось большим, и краем отрезка со стороны этой точки. Легко понять, что в этой части отрезка точка минимума лежать не может; в противном случае у функции на отрезке [A, B] оказалось бы две точки минимума, что противоречит условию его унимодальности. На рис. 29 следует отбросить часть первоначального отрезка [A, C); тогда отрезок унимодальности становится равным [C, B]. Многократным повторением этих действий отрезок унимодальности можно последовательно уменьшить до сколь угодно малой величины.

Рис. 29 К описанию метода дихотомии.

Различные варианты метода дихотомии связаны с правилами выбора точек C и D.

а) Метод половинного деления.

Точки C и D выбираются равноотстоящими на малую величину d =e /2 от середины отрезка (e - допустимая погрешность определения точки минимума)

. (2.52)

В этом случае от отрезка унимодальности можно каждый раз отбрасывать половину – либо [A, (A+B)/2), либо ( (A+B)/2, B] – в зависимости от того, в какой из точек значение целевой функции окажется больше[1].

б) Метод золотого сечения

Метод основан на свойстве так называемого "золотого сечения" величин: если отрезок (и вообще какую-то величину) поделить на части в отношении приблизительно 0,618 : 0,382, то отношение меньшей части к большей равно отношению большей части ко всей исходной величине. Можно отметить также, что

, (2.53)

иными словами:

· если на большей части отрезка отметить точку, отстоящую от его конца на меньшую часть того же отрезка, то большая часть будет поделена этой точкой в отношении золотого сечения;

· если к целому отрезку добавить дополнительно его большую часть, то новый отрезок длиной 1,618 от первоначального будет поделен точкой 1 в отношении золотого сечения;

Точные значения коэффициентов золотого сечения равны

, (2.54)

В методе золотого сечения на отрезке унимодальности определяют две точки, которые делят его в отношении золотого сечения с разных сторон

. (2.55)

Если отбросить одну из крайних частей отрезка, то оставшаяся часть будет поделена оставшейся на ней точкой в отношении золотого сечения. Таким образом, оставшаяся точка сразу оказывается одной из двух необходимых точек (C или D) для нового приближения.

Видно, что на каждом шаге необходимо заново определить одну дополнительную точку и значение целевой функции в ней. Хотя на каждом шаге отрезок унимодальности уменьшается не в два раза, как в методе половинного деления, а только в (1/0,618), то есть в 1,618 раза, однако количество расчетов на каждом шаге уменьшается вдвое и в целом метод оказывается более экономичным. Это имеет значение, если расчеты приходится проводить вручную. При расчетах на компьютере экономичность не столь заметна, так как на каждом шаге приходится определять – в качестве какой из двух точек (С или D) для нового шага выступает оставшаяся на отрезке точка – и производить соответствующее переопределение значений переменных (в EXCEL – перенос значений из одной ячейки в другую). Поэтому программирование метода золотого сечения более сложно, чем программирование метода половинного деления.

Ниже рассматривается решение описанной в качестве примера задачи при значениях V₀=5 м³, b=0,15 мметодами половинного деления и золотого сечения. График целевой функции показан на рис. 30.

Рис. 30. График целевой функции.

Из графика видно, что в качестве первоначального отрезка унимодальности можно выбрать отрезок [0,4; 0,8]. Погрешность определения точки минимума выбрана равной 0,001. Точность расчетов в таблицах контролируется визуально – по совпадению видимых значений A и B в ячейках очередной строки таблицы, для числовых значений которой выбран числовой формат с тремя знаками после запятой.

Структура электронных таблиц для реализации методов половинного деления и золотого сечения показана в таблицах 18, 19. Вид итоговых таблиц показан на рис. 31, 32. На рис. 33 показано изменение значений характерных точек А, C, D, В от шага к шагу в методе золотого сечения.

Рис. 31. Результат решения задачи оптимизации методом половинного деления

Для сокращения таблицы 18 в ней опущены формулы вычисления целевой функции. Формула, соответствующая (2.51), первоначально заносится с клавиатуры в ячейку F5. В качестве значения R в нее подставляется ссылка на ячейку С5. Затем формула копируется в ячейку G5, а потом формулы из этих двух ячеек копируются на нужное число строк вниз.

В таблице 19 вычисления значений характерных точек и целевой функции по формулам (2.55) и (2.51), начиная со строки 5, являются только частью более сложных логических формул, учитывающих в нужных случаях перенос значений целевой функции из предыдущей строки вместо их вычисления. Формулы заносятся в ячейки строки 5 с клавиатуры, а затем копируются вниз на нужное количество строк.

Сравнение таблиц показывает, что таблица для метода половинного деления гораздо проще, чем таблица метода золотого сечения (хотя она и содержит на один столбец больше). Таблицу метода золотого сечения можно сделать более простой, если отказаться от переноса значений из предыдущих строк, и вычислять значения характерных точек и целевой функции в каждом случае без всяких условий. Но в этом случае теряется единственное преимущество метода золотого сечения – сокращение объема вычислительных операций – тогда как более низкая скорость сходимости, по сравнению с половинным делением, сохраняется.

Рис. 32. Результат решения задачи оптимизации методом золотого сечения.

Рис. 33. Изменение характерных точек отрезка

унимодальности в методе золотого сечения.

Таблица 18.

Структура электронной таблицы для реализации метода половинного деления

Таблица 19.

Структура электронной таблицы для реализации метода золотого сечения

Замечание.

В таблице 19 значения коэффициентов золотого сечения вычислены, в соответствии с формулами (2.54), в ячейках Е1, Е2. При дальнейших вычислениях в таблице используются абсолютные ссылки на ячейки Е1, Е2.

4. Применение модуля "Поиск решения" для решения задач оптимизации.

Поскольку модуль "Поиск решения" (см. п. 2.3) позволяет решать задачи, связанные с определением экстремума функции, его можно применять для решения различных задач оптимизации. В случае одномерной задачи для решения понадобится использовать всего две ячейки таблицы. В одну из них с клавиатуры заносится какое-то начальное значение аргумента целевой функции, в другую – формула вычисления целевой функции. После этого запускается модуль "Поиск решения" и в диалоговом окне настройки модуля (рис. 15) производятся всего три действия:

1. В окно ввода "Установить целевую ячейку…" заносится ссылка на ячейку содержащую формулу целевой функции.

2. Указатель переключателя "Равной" устанавливается в позицию "минимальному значению".

3. В окно ввода "Изменяя ячейки" вносится ссылка на ячейку, содержащую значение аргумента целевой функции.

Ограничения в данном случае не устанавливаются и окно "Ограничения" остается пустым. Затем надо щелкнуть виртуальную клавишу [Выполнить], и компьютер находит решение задачи.

5. Порядок выполнения работы.

1. Выполнить постановку задачи одномерной оптимизации согласно индивидуальному варианту задания (табл. 20).

2. Решить поставленную задачу с помощью электронных таблиц EXCEL. Для решения использовать метод половинного деления или золотого сечения (по своему выбору или по указанию преподавателя). Допустимая погрешность расчета – 0,1 мм.

3. Найти решение этой же задачи, используя модуль "Поиск решения".

6. Контрольные вопросы и задания.

1. В чем заключается основной принцип постановки задач оптимизации?

2. Что понимается по "классическим" методом решения задачи одномерной оптимизации?

3. Какими признаками характеризуется отрезок унимодальности функции?

4. Опишите принцип выбора концов отрезка унимодальности на очередном шаге метода половинного деления. Проиллюстрируйте его блок-схемами алгоритмов определения точек А и В.

5. Что понимается под "золотым сечением" отрезка?

6. Постройте на бумаге отрезок длиной 10 см. Разделите его в отношении золотого сечения. Разделите большую из получившихся частей снова в отношении золотого сечения и проверьте правильность формулы (53).

7. Опишите принцип выбора концов отрезка унимодальности на очередном шаге метода золотого сечения. Проиллюстрируйте его блок-схемами алгоритмов определения точек А и В

8. Изобразите блок-схему алгоритма определения точек С и D в методе золотого сечения.

9. Какой из двух рассмотренных в работе методов в большей степени пригоден для ручного счета с применением простейших вычислительных средств? Какой метод больше пригоден для расчетов на компьютере?

10. В чем состоят достоинства и недостатки применения модуля "Поиск решения" для решения задач оптимизации?

7. Варианты заданий для индивидуального выполнения.

Задача:

Для упаковки жидких пищевых продуктов используется упаковка типа "тетрапак" одного из двух видов (рис. 34).

Рис. 34. Упаковка "тетрапак": 1 – упаковка для сока; 2 – упаковка для молочных продуктов.

Для склеивания упаковок вдоль швов предусмотрены припуски (полоски) шириной b. Геометрические характеристики упаковок и наложенные на них ограничения и связи приведены ниже в таблице 20 для разных вариантов. Необходимо определить размеры упаковки заданного объема, на изготовление которой будет израсходовано наименьшее количество картона.

Для решения задачи следует:

1. Рассмотреть использованную упаковку подходящего типа, определить расположение клеевых швов и припусков и построить развертку упаковки. При необходимости дополнить упаковку до прямоугольника (при раскрое картона вырезаются заготовки в форме прямоугольника, а отрезанные от прямоугольников куски так или иначе идут в отходы). Выразить размеры и площадь прямоугольника через геометрические параметры упаковки.

2. Используя связи между геометрическими параметрами упаковки, привести задачу к одномерной, исключив из выражения площади заготовки часть размеров. После численного решения поставленной задачи необходимо, используя эти же связи, определить значения всех размеров упаковки.

Замечание: при численных расчетах следует обращать внимание на выбор единиц измерения. Так, если объем упаковки выражен в литрах (кубических дециметрах), то все линейные размеры должны быть выражены в дециметрах. Удобнее выражать линейные размеры в сантиметрах, а объем – в кубических сантиметрах (хотя можно и перевести все размеры в метры, а объем – в кубометры).

Таблица 20.

Окончание таблицы 20

2.9. Решение задач линейного программирования

Цель работы: знакомство с основными типами задач линейного программирования и освоение возможностей применения модуля "Поиск решения" для решения задач оптимизации.

1. Краткие сведения о задаче линейного программирования.

Под задачей линейного программирования (ЗЛП) понимается многомерная условная задача оптимизации, в которой все математические зависимости имеют вид линейных форм

. (2.56)

Приведем примеры типичных разновидностей ЗЛП.

I. "Задача о расходовании ресурсов".

Предприятие выпускает несколько видов продукции: П₁, П₂, …, П_N. Для этого используются различные ресурсы: S₁, S₂, …, S_M. Такими ресурсами могут быть различные виды материального сырья, электроэнергия, рабочее время работников разных специальностей (измеряется в "человеко-часах" и определяется имеющимся штатом работников), располагаемое время работы различного оборудования (определяется имеющимся в распоряжении парком оборудования) и т.п. Запасы ресурсов на предприятии ограничены и составляют соответственно b₁, b₂, …, b_M. Известен расход каждого вида сырья S_i на выпуск единицы каждого вида продукции П_j : a_{i j} .

Реализация единицы выпущенной продукции П_j приносит предприятию прибыль p_j. Требуется составить план выпуска продукции, приносящий в имеющихся условиях максимальную прибыль.

Искомый план определяется значениями объемов выпуска разных видов продукции. Обозначим эти величины x_j . Тогда общий расход ресурса S_i при выпуске всех видов продукции составит, очевидно

.

Так как расход ресурса не может оказаться больше, чем имеющийся на предприятии запас, должно выполняться неравенство

. (2.57)

Таких неравенств, очевидно, должно быть столько, сколько видов ресурсов рассматривается в задаче. Они называются ресурсными ограничениями задачи. Также очевидно, что значения объемов выпуска продукции должны удовлетворять естественным ограничениям

. (2.58)

Целевая функция задачи выражает величину получаемой прибыли и равна

. (2.59)

Необходимо определить значения x_i, при которых целевая функция примет максимальное значение.

II. "Задача о пищевом рационе".

Для формирования пищевого рациона используются несколько продуктов: П₁, П₂, …, П_N. Они характеризуются различным содержанием полезных или вредных компонентов S₁, S₂, …, S_M. Такими компонентами могут быть различные белки или отдельные аминокислоты, витамины, микроэлементы (полезные компоненты), соль, жиры, углеводы (при диетическом питании все они могут оказаться вредными) и т.п.. Необходимое минимальное (для полезных компонентов) или максимальное (для вредных) содержание каждого компонента в рационе известно; эти величины составляют соответственно b₁, b₂, …, b_M. Известно содержание каждого компонента S_i в единице каждого продукта П_j : a_{i j} .

Целевая функция может формироваться различными способами в соответствии со смыслом задачи. Это может быть общая стоимость искомого рациона (тогда в задаче должна быть известна цена единицы каждого продукта p_i), или его общий вес (соответственно, должен быть задан вес единицы каждого продукта p_i). В любом случае, в задаче необходимо сформировать рацион, соответствующий минимальному значению целевой функции.

Математическая постановка задачи выражается соотношениями, аналогичными (2.57-2.59). Разница состоит в том, что знаки неравенств (2.57) могут оказаться различными ("£" для вредных компонентов и "³" для полезных), а целевая функция (2.59) должна принять минимальное значение.

III. "Транспортная задача".

Имеется несколько производителей одинаковой продукции: Пр₁, Пр₂, …, Пр_M. Объемы производства у каждого производителя известны и составляют соответственно a₁, a₂, …, a_M . Произведенная продукция распределяется между потребителями Пт₁, Пт₂, …, Пт_N. с известными объемами потребления b₁, b₂, …, b_N. Предполагается, что спрос и предложение сбалансированы:

(2.60)

Задача с нарушением баланса (т.н. "открытая") в данной работе не рассматривается.

От каждого производителя продукция может быть доставлена каждому потребителю, причем цена доставки единицы продукции по различным маршрутам различается и составляет для перевозки от производителя Пр_i к потребителю Пт_j величину c_ij (эти величины известны и образуют так называемую матрицу цен). Требуется так распределить продукцию между потребителями, чтобы общая стоимость перевозок оказалась минимальной.

План перевозок представляет собой матрицу, элементами которой являются объемы перевозок x_ij. Целевая функция задачи:

. (2.61)

Совокупность ограничений состоит из М равенств, определяющих то обстоятельство, что вся произведенная продукция должна быть вывезена от производителей:

(2.62)

- и N равенств, определяющих необходимость удовлетворения спроса каждого потребителя:

. (2.63)

Кроме того, должны выполняться естественные ограничения: x_ij ³ 0 - на каждом маршруте.

Существуют другие типы ЗЛП.

2. Решение задач линейного программирования в электронных таблицах EXCEL.

Решение ЗЛП с помощью электронных таблиц основано на применении модуля "Поиск решения". Структура таблицы определяется постановкой задачи и не может быть сведена к единой типовой схеме. Однако можно выделить общие принципы построения таблиц:

1. Должен иметься диапазон значений искомых величин (параметров плана), которые должны будут подбираться с помощью модуля.

2. Должна иметься одна ячейка, в которой вычисляется целевая функция.

Для задачи о расходовании ресурсов можно предложить схему таблицы, позволяющую рационально провести необходимые вычисления. Прежде всего, отметим, что исходные данные задачи образуют совокупность математических объектов:

· матрица удельных расходов сырья А с элементами a_ij, содержащая М строк и N столбцов;

· вектор запасов В с элементами b_i;

· вектор С целевых коэффициентов (значений прибыли на единицу продукции) p_j.

Кроме этого, в таблицу войдут:

· вектор Х, содержащий значения искомых параметров плана;

· вычисляемый вектор D значений расходов отдельных видов сырья (т.е., значений левых частей неравенств (2.5);

· целевая ячейка Р, в которой будет вычисляться значение целевой функции.

Эти объекты удобно разместить в таблице следующим образом:

Таблица 21

Структура электронной таблицы для решения

задачи линейного программирования

Заполнение таблицы проводится в следующем порядке:

1. Вручную заполнить диапазоны исходных значений: матрицы А, вектора-столбца В и вектора-строки С.

2. В ячейки вектора-строки Х внести произвольные значения параметров.

3. В первую ячейку диапазона (вектора-столбца) D внести формулу вычисления левой части первого ограничения (2.57), т.е., выражения

.

Эту формулу можно набрать непосредственно в указанном виде, или воспользоваться для вычисления функцией СУММПРОИЗВ(…) (см. далее табл. 23) В любом случае, ссылки на ячейки диапазона Х следует сделать абсолютными.

4. Скопировать формулу из первой ячейки диапазона D вниз до ячейки Р включительно. После этого в ячейках диапазона D и в ячейке Р автоматически будут созданы необходимые для решения формулы.

Затем запускается модуль "Поиск решения" и ставится задача: "Установить ячейку Р равной максимальному значению, изменяя значения ячеек диапазона Х". Ресурсные ограничения создаются в виде неравенств:

(ячейка диапазона D) £ (ячейка диапазона B) .

Для формирования естественных ограничений необходимо щелкнуть в диалоговом окне "Поиск решения" (рис. 36) клавишу [Параметры] и в появившемся диалоговом окне установить мышью флажок "Неотрицательные значения"; затем щелкнуть [OK] для возврата в окно "Поиск решения".

После этого следует щелкнуть клавишу [Выполнить], после чего производится поиск решения.

3. Примеры решения задач линейного программирования.

I. Решение задачи о расходовании ресурсов:

Прядильная фабрика для производства двух видов пряжи использует три типа сырья - шерсть, капрон и акрил. В таблице 22 указаны нормы расхода сырья на 1 т продукции, общее количество сырья, которое может быть использовано фабрикой в течение года, а также прибыль от реализации 1 т пряжи каждого вида (в условных денежных единицах).

Таблица 22

На рисунке 35 приведен вид итоговой таблицы (после выполнения поиска решения). Целевая ячейка выделена серой заливкой, а значение целевой функции в ней выведено увеличенным жирным шрифтом. Рамками обведены отдельные части таблицы в соответствии со схемой, показанной в таблице 21.

Рис. 35. Таблица решения задачи о расходовании ресурсов с помощью модуля "Поиск решения"

Структура электронной таблицы, показанной на рис. 35, приведена в таблице 23.

Таблица 23

Структура таблицы для решения задачи о расходовании

ресурсов с помощью модуля "Поиск решения"

На рис. 36 показан вид диалогового окна модуля "Поиск решения", заполненного для решения рассматриваемой задачи. Для наложения естественных ограничений (2.58) следует щелкнуть клавишу [Параметры] и в открывшемся после этого диалоговом окне установить флажки "Неотрицательные значения" и "Линейная модель", затем щелкнуть [OK].

Анализируя решение задачи (рис. 35), можно сделать вывод, что лимитирующими ресурсами задачи являются шерсть и капрон – они в оптимальном случае расходуются полностью и ограниченность их запасов не позволяет увеличить выпуск продукции. В то же время, запас акрила является избыточным - он расходуется не полностью.

Рис. 36. Заполнение диалогового окна модуля "Поиск решения"

для решения задачи о расходовании ресурсов.

II. Решение транспортной задачи.

Для обеспечения молоком жителей микрорайона города построено четыре мини-завода по его переработке, объемы производства которых соответственно равны 300, 400, 500, 200 тонн. Заключены договора на поставку молока с тремя фермерскими хозяйствами, производственная мощность которых 500, 600, 300 тонн. Затраты на перевозку одной тонны молока от фермерского хозяйства до завода представлены в таблице 24.

Таблица 24

Необходимо составить такой план поставок молока, при котором суммарные затраты на транспортировку будут минимальными и заводы будут работать на полную мощность.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть x_ij – объем перевозок с i–ой фермы в j–й мини-завод. Целевая функция – это суммарные транспортные расходы, т.е.

где с_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i–й фермы на j–й мини-завод.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

· Объемы перевозок не могут быть отрицательными.

· Так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с ферм, а потребности всех минизаводов должны быть полностью удовлетворены.

В результате имеем следующую задачу: определить значения x_ij, минимизирующие целевую функцию

,

при ограничениях:

x_ij 0,

где b_j – спрос на j–м мини-заводе, а_i- объем производства на i–й ферме.

Для решения этой задачи с помощью модуля "Поиск решения" таблица заполняется, как это показано на схеме (таблица 25). В ячейки B2:E4 введены цены перевозок. Ячейки B7:E9 отведены под значения неизвестных (объемы перевозок). Эти ячейки можно заполнить произвольными значениями, или вообще поначалу не заполнять. В ячейки G7:G9 введены объемы производства на фермах, а в ячейки B11:E11 - потребность в молоке на мини-заводах. В ячейке F10 вычисляется целевая функция z. Для вычисления целевой функциииспользована встроенная функция EXCEL СУММПРОИЗВ(…). В диапазоне B10:E10 размещены формулы, определяющие объем продукции, поставляемой на заводы, в ячейках F7:F9 - формулы, вычисляющие объемы продукции, вывозимой с ферм. Для быстрого создания этих формул можно воспользоваться приемом автосуммирования.

Таблица 25

Структура таблицы для решения транспортной

задачи с помощью модуля "Поиск решения"

После заполнения таблицы запускается модуль "Поиск решения" и диалоговое окно заполняется, как показано на рисунке 37. Естественные ограничения на значения неизвестных накладываются так же, как и в предыдущем примере.

Рис. 37. Заполнение диалогового окна модуля "Поиск

решения" для решения транспортной задачи.

Рис. 38. Таблица решения транспортной задачи

с помощью модуля "Поиск решения".

Обратите внимание, что ограничения на объемы вывоза и доставки (рис. 37) созданы с использованием диапазонов. Это возможно, если знаки отношений (равенств или неравенств) одинаковы во всех ограничениях. В этом случае в соответствующие окна ввода в окне диалога вносятся ссылки на необходимые диапазоны (рис. 39).

Рис. 39. Создание ограничения с использованием диапазонов.

Аналогичным образом, три ограничения в окне "Поиск решения" в предыдущем примере (рис. 36) можно было записать в виде одного с использованием диапазонов:

D2:D4 ≤ E2:E4 .

III. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

3.1. Предварительные теоретические сведения

Любое производимое при экспериментальном исследовании естественных процессов или технических систем измерение всегда совершается с некоторой ошибкой. Эта ошибка вызывается влиянием большого числа внешних и внутренних факторов, которые невозможно строго учесть. Поэтому в теории обработки экспериментальных данных ошибка измерения полагается случайной величиной (СВ), а для обработки результатов привлекается аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Допустим, измеряемая величина имеет точное значение у. Произведем несколько измерений этой величины. Из-за влияния посторонних факторов в результате измерений будет получен набор значений

(3.1)

где i – номер очередного измерения, e_i – ошибка в очередном измерении. Значение ошибки, и, соответственно, измеренное значение y_i , являются непрерывными СВ. Это значит, что они могут принимать любое значение, по крайней мере, внутри какого-то диапазона.

При каждом измерении значение ошибки будет разным - положительным или отрицательным, малым или сравнительно большим. Для того, чтобы учесть все возможные значения ошибки, пришлось бы провести бесконечное число измерений. Полученное в результате такого воображаемого эксперимента бесконечное множество значений y_i (и, соответственно, e_i) называется генеральной совокупностью значений СВ.

На самом деле число измерений всегда конечно, и в результате получается конечное подмножество значений ошибки, называемое выборочной совокупностью, или просто выборкой значений.

Целью экспериментального исследования является не точное определение значения величины у, которое из-за неизбежных ошибок измерения просто невозможно, а лишь оценка его с минимальной погрешностью. Для этого требуется определить характеристики ошибки измерения, как случайной величины.

Для точного определения этих характеристик пришлось бы изучить всю генеральную совокупность значений, что, разумеется, невозможно. На основе выборки можно лишь произвести оценку этих характеристик.

Таким образом, любой результат экспериментального исследования представляет собой оценку изучаемой величины, которая отличается от истинного значения. На основе выборочной совокупности измеренных значений можно определить некоторый диапазон, внутри которого, вероятно, лежит истинное значение величины. Этот диапазон называется доверительным интервалом для изучаемой величины. Поскольку речь все время идет только об оценках, всегда остается вероятность того, что оценка сделана неверно, и истинное значение лежит за пределами найденного доверительного интервала. Вероятность того, что оценка сделана правильно, называется доверительной вероятностью. В технических экспериментах чаще всего используют величину доверительной вероятности 0,95, или 95%. В точных научных экспериментах она может быть гораздо выше.

Величины доверительного интервала и доверительной вероятности взаимосвязаны. Чем выше задан уровень доверительной вероятности, тем более широким окажется соответствующий ей доверительный интервал (в пределе, 100-процентой доверительной вероятности соответствует бесконечно широкий доверительный интервал – в него обязательно, то есть с вероятностью 100%, попадет любое значение величины).

В дальнейшем изложении будет использоваться следующая терминология.

Измерение, событие – однократный акт измерения значения СВ.

Опыт – серия измерений. Если экспериментально исследуется функциональная зависимость, например, y(x), опыт представляет собой серию измерений, произведенных при одном и том же значении аргумента х.

Эксперимент – все исследование в целом, которое может состоять из нескольких опытов.

Пусть производится опыт по исследованию случайной величины Y. В опыте произведено N измерений, при которых получены выборочные значения y_i ( i = 1, 2, …, N). Рассмотрим основные характеристики СВ Y и способы их оценки.

1. Математическое ожидание М(Y) – среднее значение СВ, которое может быть получено в случае исследования генеральной совокупности ее значений.

По результатам опыта математическое ожидание может быть оценено на основе выборки значений величиной выборочного среднего

. (3.2)

В дальнейшем для простоты будем обозначать суммы, аналогичные этой - с таким же диапазоном изменения индекса суммирования - просто символом "S":

.

Если диапазон индексов окажется другим, сумма будет обозначаться полностью, с указанием границ диапазона.

2. Дисперсия D(Y) – математическое ожидание квадрата отклонения, т.е., разности между математическим ожиданием СВ и ее значением, которое может быть получено в предстоящем измерении. Дисперсия характеризует разброс значений СВ.

Для оценки дисперсии на основе выборки значений может быть использовано выражение (выборочная дисперсия)

. (3.3)

3. Среднеквадратическое отклонение s (Y) – квадратный корень из дисперсии. Оно, как и дисперсия, служит характеристикой разброса значений СВ.

4. Функция плотности вероятности f(Z) характеризует вероятность того, что значение СВ, которое будет получено в предстоящем измерении, будет близко к Z. Точнее говоря, вероятность того, что измеренное значение y_i будет лежать в диапазоне [Z, Z+dZ), равна

. (3.4)

Характерный вид графиков плотности вероятности показан на рис.

Рис. 40. Функции плотности вероятности случайной величины.

Математическое ожидание СВ на этом графике соответствует горизонтальной координате центра тяжести фигуры, заключенной между графиком и горизонтальной осью. Дисперсия СВ тем больше, чем "шире" такая фигура (так, СВ 1 имеет большую дисперсию чем СВ 2).

5. Функция распределения вероятности СВ F(Z) характеризует вероятность того, что измеренное значение СВ y_i окажется меньше Z:

. (3.5)

Между функцией распределения вероятности и плотностью вероятности СВ существует связь:

(3.6)

Приблизительный вид функции распределения вероятности показан на рис.

Рис. 41. Функция распределения вероятности случайной величины.

6. Квантилью Z_a уровня a называется решение уравнения F(Z)=a (рис. ). Квантиль определяет такое пороговое значение, что с вероятностью a измеренное значение СВ окажется меньше этого порога:

(3.7)

В теории обработки экспериментальных данных важную роль играют некоторые теоретические распределения вероятностей.

· Нормальное распределение Гаусса является важнейшим из теоретических распределений. Плотность вероятности нормального распределения выражается формулой

(3.8)

В этой формуле m – математическое ожидание СВ, s - среднеквадратическое отклонение СВ. Если нормальная СВ имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию s² , равную единице, то она называется стандартной CВ (обозначим такую величину U). Графики распределения и плотности вероятности стандартной СВ приведены на рис. 42.

Рис. 42. Распределение вероятности и плотности

вероятности стандартной случайной величины.

· Распределение "хи-квадрат" (c²_N-распределение) – это распределение вероятности СВ