Итерационные циклы

Большое место среди циклов с неизвестным числом повторений занимают циклы, когда в процессе повторения тела цикла образуется последовательность значении y₁, y₂,…,y_n,…, сходящаяся к некоторому пределу а, т. е.

.

Каждое новое значение у_n в такой последовательности определяется с учетом предыдущего у_n-1 и является по сравнению с ним более точным приближением к искомому результату (пределу) а. Циклы, реализующие такую последовательность приближений (итераций), называются итерационными.

В итерационных циклах условие продолжения (окончания) цикла основывается на свойстве безграничного приближения значений у_n к пределу а при увеличении n. Итерационный цикл заканчивают, результат отождествляют со значением у_n, т.е. считают, что у_n ≈ а, если для некоторого значения n выполняется условие

,

где ε – допустимая погрешность вычисления результата.

Типичным примером итерационного циклического процесса может служить задача вычисления суммы бесконечного ряда. Понятие суммы связано с понятием сходимости бесконечного ряда. Бесконечный ряд значений t₀, t₁, ..., t_n, ... называется сходящимся, если сумма s_n = t₀ + t₁, ...,t_n,… его первых (n + 1) слагаемых при беспредельном возрастании n стремится к некоторому пределу S, который и называется суммой ряда, т. е.

; .

Общий член t_n сходящегося ряда при этом стремится к нулю, т. е.

; .

Следовательно, последовательность s₁, s₂, ..., s_n, ... является искомой последовательностью значений и определяет следующее условие окончания суммирования:

или .

Пример.

Вычислить с погрешностью ε=10^-4 значение функции s=cos(x), используя разложение в ряд:

,

где .

Для решения задачи необходимо, во-первых, определить значение очередного слагаемого t_n, во-вторых, осуществлять накопление суммы по итерационной формуле:

.

Для определения t_n в данном примере из-за наличия факториала целесообразно использовать не прямое вычисление, а рекуррентное соотношение: .

Подставим в формулу, определяющую t_n, вместо n величину (n-1):

.

Определим сомножитель :

.

Напомним, что m!=1·2·…·m, поэтому

.

Начальное значение t₀=1 находится подстановкой в формулу для общего члена t_n при n=0.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

Var

eps, s, t, f, x, y: real;

n: integer;

Begin

eps:=StrToFloat(Edit1.Text);

x:=StrToFloat(Edit2.Text);

s:=0;

t:=1;

n:=1;

while abs(t)>eps do

Begin

s:=s+t;

f:=-sqr(x)/(2*n*(2*n-1));

t:=t*f;

n:=n+1

end;

y:=cos(x);

Memo1.Lines.Add('S= '+FloatToStr(s)+' Y= '+FloatToStr(y))

end;

End.

Так как надобности в запоминании значений всех слагаемых t_n и промежуточных сумм s_n нет, то в программе используются простые переменные: s – очередное значение суммы ряда, t – очередное значение члена ряда, f – очередное значение сомножителя .

Для проверки полученного результата осуществляется вызов стандартной функции cos(x), значение которой присваивается переменной y. Для организации цикла с предусловием, в котором условие является условием продолжения цикла.

Пример создания приложения

Задание. Создать Windows-приложение, которое выводит таблицу значений функции и ее разложения в ряд в виде суммы с погрешностью ε=10^-4, для значений x от x_n до x_k с шагом h=(x_k–x_n)/8. На панели интерфейса предусмотреть возможность управления выводом исходных данных и погрешности вычислений.