Список вопросов, позволяющих выявить ошибки ввода условия задачи в Excel

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Что называется планом задачи линейного программирования?

2. Какими свойствами обладает КЗЛП?

3. Дайте определение линии уровня целевой функции ЗЛП.

4. Перечислите правила формулировки двойственной задачи.

5. К чему приведет включение в план выпуска изделия, для которого

?

6. Какие задачи называются задачами дискретного программирования?

7. Частным случаем какой задачи является задача о назначе­ниях?

I. Написать двойственную задачу к следующей задаче линейно­го программирования:

a) max f(x₁x₂) = -Зх₁ + 2х₂, б) min f(x₁x₂) = 2х₁ - Зх₂,
2х₁ + Зх₂ = 5, 2х₁ - х₂ -4,

3x₁ + 2х₂ 7, х₁ + х₂ 5.

х₁ 0.

Совет. Для проверки правильности записи двойственной за­дачи постройте двойственную задачу к уже полученной двойствен­ной задаче - в результате должна получиться исходная задача.

II. Решить следующие задачи при помощи двойственных к ним
задач:

а) max f(X) = Зх₁ + 2х₂ - х₃, Ответ:

2х₁ + х₂ + х₃ 10, х₁ = 5, х₂ = 0, х₃ = 0,

-х₁ + х₂ + 2х₃ -5, max f(X) = 15.

x_1,2,3 0.

б) min f(X) = 2х₁ - х₂ + х₄, Ответ:

Зх₁ + 2х₂ - х₃ + х₄ 10, решений нет.

-2х₁ + 2х₂ + Зх₃ - х₄ 10,

x_j 0, j = 1, .., 4.

в) min f(X) = 0,2x₁ + 0,3x₂, Ответ:

2х₁ + х₂ 6, х₁ = 2, х₂ = 2,

2х₁ + 4х₂ 12, min f(X)=1.

х₁ 0, х₂ 0.

Глава 2. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Эффективное функционирование экономики пред­полагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определен­ного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса. Впервые эти таблицы были опубликованы в 1926 г. в России. Математическая модель межотраслевого баланса (МОБ), допуска­ющая широкие возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста Василия Леонтьева (см. Приложение 1).

2.1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА)

Рассмотрим наиболее простой вариант модели меж­отраслевого баланса (ее называют моделью Леонтьева, или моделью «затраты - выпуск»).

Алгебраическая теория анализа модели «затраты — выпуск» сводится к решению системы линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства раз­бит на п «чистых» отраслей. «Чистая» отрасль — это условное понятие — некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяй­ство и т.п.).

Пусть x_ij - объем продукции отрасли i, расходуемый в отрас­ли j; X_i - объем производства отрасли i за данный промежуток времени (так называемый валовой выпуск продукции i);. Y_i — объем потребления продукции отрасли i в непроизводственной сфере (объем конечного потребления); Z_j - условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимост­ными. В зависимости от этого различают натуральный и сто­имостной межотраслевые балансы. Ниже мы будем рассматривать стоимостной баланс. В табл. 2.1 представлена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Таблица 2.1

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
		...	п
	Х11	Х12	…	Х1n	Yi	Х1
	Х21	Х22	…	Х2n	Y2	Х2
…	…	…	…	…	…	…
п	Хп	Хп2	…	Хnn	Yn	Хn
Условно чистая продукция	Z1	Z2	…	Zn
Валовой продукт	Х1	Х2	…	Хn

Рассматривая схему баланса по столбцам, можно заметить, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения.

, j=1,…,n. (2.1)

Напомним, что величина условно чистой продукции Z_j равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода отрасли j. Соотношение (2.1) охватывает систему из п уравнений, отражаю­щих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производя­щей отрасли, замечаем, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее про­дукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

, j=1,…,n. (2.2)

Формула (2.2) описывает систему из п уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

, .

Коэффициенты прямых материальных затрат. Основу экономико-математической модели МОБ составляет технологическая матрица коэффициентов прямых затрат А(а_ij).

Коэффициент прямых материальных затрат a_ij показывает, сколько необходимо единиц продукции отрасли i для производ­ства единицы продукции отрасли j, если учитывать только прямые затраты:

a_ij = x_ij / X_j, i, j=1,…,n. (2.3)

Сделаем два важных предположения, необходимых для даль­нейшего рассмотрения модели Леонтьева.

1. Сложившуюся технологию производства считаем неизмен­ной. Таким образом, матрица А = (а_ij) постоянна.

2. Постулируем свойство линейности существующих техно­логий: для выпуска отраслью j любого объема продукции Х_j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве a_ijX_j, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производи­мой продукции:

x_ij = a_ijX_j (2.4)

Подставляя (2.4) в балансовое соотношение (2.2), получаем

, (2.5)

или в матричной форме

Х=АХ+ Y. (2.6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

• задавая для каждой отрасли величины валовой продукции (X_i), можно определить объемы конечной продукции каждой от­расли (Y_i):

Y=(E-A)X; (2.7)

• задавая величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрас­ли (X_i):

X=(E-A)^-1Y; (2.8)

• задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей — объемы конечной продукции, мож­но найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (2.7) и (2.8) символ Еобозначает единичную матри­цу порядка n, а (Е - А)^-1 - матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е-А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то существует обратная к ней матрица. Обозна­чим обратную матрицу через В = (Е - А) ^-1 , тогда систему урав­нений в матричной форме (2.8) можно записать в виде Х= BY.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции отрасли i для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции отрасли j. Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если соблюдаются усло­вие продуктивности.

Неотрицательную матрицу А будем называть продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X 0, что

Х>АХ. (2.9)

Очевидно, что условие (2.9) означает существование положи­тельного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межот­раслевого баланса (2.6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материаль­ных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А) ^-1 0;

2) матричный ряд Е + А + А² + А³ + ... = сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А) ^-1:

В= (Е- А) ^-1 = Е + А + А² + А³ + ... (2.10)

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы А,
т.е. решение характеристического уравнения , строго
меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы (Е-А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны.

Более простым способом проверки продуктивности матри­цы А является ограничение на величину ее нормы, в данном случае на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие является достаточ­ным, но не необходимым условием продуктивности, поэтому матри­ца А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Пример 2.1. Даны коэффициенты прямых затрат а_ij конеч­ный продукт Y_i для трехотраслевой экономической системы:

А = , Y =

Требуется определить:

а) коэффициенты полных затрат;

б) вектор валового выпуска;

в) межотраслевые поставки продукции;

г) проверить продуктивность матрицы А;

д) заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи воспользуемся функциями Excel[6].

В табл. 2.2 приведены результаты решения задачи по первым трем пунктам.

1. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат В= (Е-А) ^-1.

Таблица 2.2

Для вычисления обратной матрицы необходимо:

• выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы;

• выбрать функцию М0БР в категории Математические;

• ввести диапазон ячеек, где содержится матрица Е - А;

• нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы Е - А. Массив Е - А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В = (Е - А)^-1 и введем форму­лу для вычислений М0БР (B6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (это ответ на пункты «а»—«г»).

2. Вычислим вектор валового выпуска Х по формуле Х= BY.

Для умножения матриц необходимо:

• выделить диапазон ячеек для размещения результата умноже­ния матриц;

• выбрать функцию МУМН0Ж в категории Математические;

• ввести диапазоны ячеек, где содержатся матрицы В и Y;

• нажать клавиши CTRL+SHIFT+ETER.

В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного про­дукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемого по формуле x = (Е - А)^-1 К Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12, G10:G12). Далее следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

3. Межотраслевые поставки x_ij вычисляем по формуле x_ij = a_ijX_j.

4. Заполняем схему МОБ (табл. 2.3).

Таблица 2.3

2.2. МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В АНАЛИЗЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

К числу важнейших аналитических возможностей данного балансового метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей. При этом ис­ходной моделью служит отчетный межпродуктовый баланс в нату­ральном выражении. В отдельной строке баланса дается распреде­ление затрат живого труда в производстве всех видов продукции. Предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.

Пусть L_j — затраты живого труда в производстве продукта j, а X_i - объем производства этого продукта (валовой выпуск). Тогда прямые затраты труда на единицу продукции вида j (коэффици­ент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

j=1,…,n. (2.11)

Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых за­трат живого труда и затрат овеществлённого труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции вида j через T_j, то произведения вида а_ijТ отражают затраты ове­ществленного труда, перенесенного на единицу продукта j через средство производства i. Будем предполагать, что коэффициенты прямых материальных затрат а_ij выражены в натуральных едини­цах. Тогда полные трудовые затраты на единицу продукции вида j (коэффициент полной трудоемкости) будут равны

; j=1,…,n. (2.12)

Введем вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости = (t_l,t₂,…,t_n) и вектор-строку коэффициентов полной трудоем­кости = (T₁,T₂,…,Т_п). Тогда с помощью матрицы коэффициен­тов прямых материальных затрат А (в натуральном выражении) систему (2.12) можно переписать в матричном виде

. (2.13)

Произведя очевидные матричные преобразования с использо­ванием единичной матрицы Е:

,

получим следующее соотношение для вектора коэффициентов пол­ной трудоемкости:

(2.14)

Матрица (Е - А)^-1 нам уже знакома, это матрица коэффици­ентов полных материальных затрат - В, поэтому равенство (2.14) можно переписать в виде

. (2.15)

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (2.11) будет равна

. (2.16)

Используя соотношения (2.9), (2.15) и (2.16) приходим к сле­дующему равенству:

. (2.17)

Здесь и - векторы-строки коэффициентов прямой и пол­ной трудоемкости а и - векторы-столбцы валовой и конеч­ной продукции соответственно.

Соотношение (2.17) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном слу­чае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оцененной по полным затра­там труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. Показатели пол­ной трудоемкости выявляют структуру затрат на выпуск различных видов продукции, и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые ба­лансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схемати­чески эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

Пример 2.2. Пусть в дополнение к исходным данным примера 2.1 заданы в некоторых единицах измерения затраты живого труда (трудовые ресурсы) в трех отраслях: L₁ = 1160, L₂ = 460, L₃ = 875. Требуется определить коэффициенты прямой и полной трудоем­кости и составить межотраслевой баланс затрат труда.

Решение

1. Воспользовавшись формулой (2.11) и результатами примера 2.1,
находим коэффициенты прямой трудоемкости:

t₁ = 1160/775,3 = 1,5; t₂ = 460/510,1 = 0,9; t₃ = 875/729,6 = 1,2,

2. По формуле (2.15), где В - это матрица коэффициента полных материальных затрат, найденная в примере 2.1, находим
коэффициенты полной трудоемкости:

3. Умножая строки 1-3 первого и второго квадрантов межотрас­левого материального баланса, построенного в примере 2.1, на соответствующие коэффициенты прямой трудоемкости, полу­чаем схему межотраслевого баланса труда (в трудовых измери­телях) (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Межотраслевой баланс затрат труда

2.3. МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ (ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА)

В модели международной торговли процесс взаим­ных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы А. Будем по­лагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответствен­но x_l, х₂,…,х_п, расходуются на покупку товаров. Обозначим:

x_i — национальный доход страны i;

а_ij — доля национального дохода страны у, которую она рас­ходует на закупку товаров страны i;

p_i - общая выручка страны от внутренней и внешней тор­говли.

Предположим, что государство расходует весь свой нацио­нальный доход на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран. Это означает, что

, j=1,…,n.

Матрица А, элементами которой являются коэффициенты a_ij, называется структурной матрицей торговли. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равна единице.

Предположим, что в течение некоторого фиксированного про­межутка времени не меняется структура международной торговли (т.е. структурная матрица торговли остается постоянной), тогда как национальные доходы торгующих стран могут измениться. Тре­буется определить, какими могут быть национальные доходы, чтобы международная торговля осталась сбалансированной, т.е. что­бы сумма платежей всех государств была равна суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торгов­ли составит

p_i = a_i1x₁ + a_i2x_i + … + a_inx_n.

В сбалансированной системе международной торговли не дол­жно быть дефицита, т.е. у каждой страны выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода: р₁ x_i i =1, 2,…,п.

Последнее неравенство справедливо только в случае, когда p_i = x_i i = 1,2,…, п, т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна совпадать с национальным доходом [4]. В матричной записи это означает, что имеет место равенство , где А - структурная матрица международной торговли, а X - вектор национальных доходов.

Вектор X является собственным вектором структурной матри­цы торговли А, а соответствующее собственное значение равно единице. Отсюда следует, что баланс в международной торговле будет достигнут, если собственное значение структурной матрицы международной торговли равно единице, а вектор национальных доходов торгующих стран является собственным вектором, отве­чающим этому единичному собственному значению.

Пример 2.3. Найти национальные доходы Х₁, Х₂, Х₃ торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

Решение

Найдем собственный вектор , отвечающий собственному зна­чению = 1, решив уравнение (А - Е) = 0. Система уравнений имеет вид

С помощью метода Жордана-Гаусса найдем общее решение этой системы

Из приведенных вычислений видно, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов Х = (2,25с; 2,5с; с), т.е. при соотношении национальных доходов стран 2,25:2,5:1, или 9:10:4.

2.4. МОДЕЛЬ НЕЙМАНА

Модель Неймана является обобщенной моделью Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта разными способами (в модели Леонтьева каждая отрасль производит один продукт и никакая другая отрасль не может производить этот продукт) [9].

В модели представлено п продуктов и т способов их произ­водства, каждый способ j задается вектором-столбцом затрат a_j и вектором-столбцом выпусков b_j в расчете на единицу интен­сивности процесса

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат и выпуска

A = (a₁,a₂,…,a_m), B = (b₁,b₂,…,b_m).

Коэффициенты затрат a_ij и выпуска b_ij неотрицательны. Пред­положим, что для реализации любого процесса необходимы затраты хотя бы одного продукта, т.е. для каждого j найдется хотя бы одно i, такое что

a_ij > 0, (2.18)
и каждый продукт может быть произведен хотя бы одним спосо­бом, т.е. для каждого i существует некоторое j, такое что

b_ij > 0, (2.19)

Из (2.18) и (2.19) следует, что каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Обозначим через x_t неотрицательный вектор-столбец интен­сивности производственных процессов

а через p_t - вектор-строку неотрицательных цен

p_t = (p₁(t), p₂(t),…,p_m(t)).

Вектор y_t = Ax_t - это вектор затрат при заданном векторе ин­тенсивности процессов х_t, а вектор z_t = Bx_t - вектор выпусков.

Модель Неймана описывает замкнутую экономику в том смысле, что для производства продукции в следующем произ­водственном цикле (в год t) расходуется продукция, произведенная в предыдущем производственном цикле, т.е. в год (t - 1):

Ax_t Bx_t-1, x_t>0, t=1, 2, ... Т. (2.20)

При этом предполагается, что задан первоначальный вектор запасов Вх₀ 0,Вх₀ 0. Система (2.12) — это модель Неймана в натуральной форме.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Поясните принципиальную схему межотраслевого баланса.

2. Как распределяется валовая продукция отраслей материаль­ной сферы производства?

3. Каково различие между промежуточной и конечной продук­цией в модели МОБ?

4. Что показывают коэффициенты прямых затрат?

5. Дайте определение коэффициентов полных материальных затрат.

6. При каких условиях модель Леонтьева продуктивна?

7. Раскройте экономическое содержание и укажите способ вы­числения показателей прямой и полной трудоемкости про­дукции.

Задача 2.1. В табл. 2.5 приведены данные об исполнении ба­ланса за отчетный период (у. д. е.).

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой от­расли, если конечный продукт первой отрасли увеличится вдвое, второй отрасли - на 20%, а третьей отрасли сохранится на пре­жнем уровне.

Таблица 2.5

Задача 2.2. В табл. 2.6 даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y_i. Требуется определить:

1) межотраслевые поставки продукции;

2) проверить продуктивность матрицы А;

3) заполнить схему межотраслевого баланса.

Таблица 2.6

Задача 2.3. На основании данных, приведенных в табл. 2.7, требуется рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат и условно чистую продукцию для промышленности, сельского хо­зяйства и непроизводственной сферы.

Таблица 2.7