ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Контрольные задания и методические указания по их
выполнению для студентов дневной и заочной форм обучения

РИО СПбГУСЭ, лицензия ЛР № 040849

Член Издательско-полиграфической Ассоциации университетов России

Государственный регистрационный номер 2047806003595 от 06.02.2004 г.

СПб государственный университет сервиса и экономики

192171, г. Санкт-Петербург, ул. Седова, 55/1

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК · ВЗФЭИ

2005
ВВЕДЕНИЕ

Новый Государственный стандарт высшего профес­сионального образования обязывает активизировать лабораторный компонент образования. В требованиях к учебно-методическому обеспечению учебного процесса указано: «Реализация основной образовательной программы подготовки дипломированного спе­циалиста должна включать выполнение студентом лабораторно-практических работ по дисциплинам специальности, включая как обязательный компонент выполнение практических заданий на персональных компьютерах с использованием пакетов приклад­ных программ»[1].

Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов подготовки специа­листов по специальностям «Бухгалтерский учет и аудит», «Менедж­мент», «Финансы и кредит», «Маркетинг», «Экономика труда» и «Государственное и муниципальное управление».

Пособие состоит из четырех глав.

В первой главе «Оптимизационные экономико-математические модели» подробно рассмотрена технология решения задач опти­мального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначениях, задачи целочисленного программирования) с помощью надстройки Excel/Поиск решения. Большое внимание уделено анализу полу­ченных оптимальных решений с помощью двойственных оценок.

Изложение практических примеров показывает возможные пути совершенствования учебного процесса за счет передачи ру­тинных вычислений компьютеру. Это позволяет преподавателю направить внимание учащихся на глубокое осмысление изучае­мых явлений, применять активные методы обучения.

Вторая глава «Балансовые модели» содержит описание метода «затраты — выпуск». В ней приведены примеры построения мо­делей международной торговли и межотраслевого баланса.

В третьей главе «Методы и модели анализа и прогнозирования экономических процессов с использованием временных рядов» приведены примеры построения прогнозов с использованием «Пакета анализа»/Excel.

Четвертая глава - лабораторная работа «Решение задач линей­ного программирования с использованием Microsoft Excel». Она содержит руководство к выполнению лабораторной работы, инструкцию по использованию Microsoft Excel для решения задач и порядок выполнения работы. Все задания для выполнения лабораторных работ имеют выраженное экономическое содер­жание.

Глава 1. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функциони­рования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функци­ей (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных и задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отмечающего критерию оптимальности.

В общем виде математическая постановка задачи математи­ческого программирования состоит в определении наибольшего ил наименьшего значения целевой функции f(х₁, х₂, …, х_п) при условиях g_i(х_1, х₂,…, х_п) b_i; (i = 1, 2, …, m), где f и g_i — заданные функции, a b_i — некоторые действительные числа.

Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и g_i – линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ста­вится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.

Среди задач нелинейного программирования наиболее глубо­ко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом зам­кнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программи­рования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

Отдельными классами задач математического программирова­ния являются задачи целочисленного, параметрического и дроб­но-линейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) ста­вится следующим образом:

найти вектор = (х₁, х₂,х_п), максимизирующий линейную форму

(1.1)

и удовлетворяющий условиям

, (1.2)

х_i 0, j = 1, …, n. (1.3)

Линейная функция называется целевой функцией задачи. Условия (1.2) называются функциональными, а (1.3) - прямыми ограничениями задачи.

Вектор = (х₁, х₂, ..., x_n), компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом, или допустимым решением ЗЛП.

Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию , называется оптимальным планом задачи

= max ,

где = (x₁*,x₂*, …, x_n*) - оптимальное решение ЗЛП.

Будем считать, что ЗЛП записана в канонической форме, если ее целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью и все переменные неотрицательные.

На практике хорошо зарекомендовали себя следующие моде­ли, относящиеся к оптимизационным: определения оптимальной производственной программы; оптимального смешивания ком­понентов; оптимального раскроя; оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории; формирования оптимального портфеля ценных бумаг; транспорт­ной задачи.

Для решения ЗЛП существует универсальный метод - метод последовательного улучшения плана, или симплекс-метод, кото­рый состоит из двух вычислительных процедур: симплекс-метода c естественным базисом и симплекс-метода с искусственным базисом (М-метод).

Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляется после приведения исходной задачи к каноническому виду задачи линейного программирования (КЗЛП):

max f(x₁, x₂, ..., x_n) = ,

, i = 1, 2, …, m,

x_ij 0, j = 1, 2, …, n; b_i 0, i = 1, 2, …, m.

В теории линейного программирования показано, что оптимальное решение ЗЛП связано с угловыми (крайними) точками многогранника решений, которым отвечают опорные планы (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый из опорных планов определяется системой т линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из п векторов А₁, А₂, …, А_п. Верхняя граница количества опорных планов, содержащихся в данной задаче, определяется числом сочетаний .

Решение ЗЛП симплекс-методом «вручную» подробно рассмот­рено в [1], [5] и др.

Рассмотрим несколько примеров задач линейного программи­рования.

1.1.1. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах)

В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: рабочая сила, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Например, пусть это будут ресурсы трех видов: рабочая сила (80 чел./дней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и до­ходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной.

Экономико-математическая модель задачи

Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ число ковров каждого типа. Целевая функция - это выражение, которое необходимо максими­зировать:

= Зх₁ + 4х₂ + Зх₃ + х₄.

Ограничения по ресурсам

7х₁ + 2х₂ + 2х₃ + 6х₄ 80,

5 х₁ + 8х₂ + 4х₃ + Зх₄ 480,

2х₁ + 4х₂ + х₃ + 8х₄ 130,

х₁, х₂, х₃, х₄ 0.

1.1.2. Задача о размещении производственных заказов [3]

В планируемом периоде предприятию необходимо обеспечить производство 300 тыс. однородных новых изделий, которые могут выпускать четыре филиала. Для освоения этого нового вида изделий выделены капитальные вложения в размере 18 млн руб. Разработанные для каждого филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризуются величи­нами удельных капитальных вложений и себестоимостью единицы продукции в соответствии с табл. 1.2.

Таблица 1.2

Себестоимость производства и удельные капиталовложения для каждого из филиалов условно приняты постоянными, т.е. потребность в капитальных вложениях и общие издержки будут и изменяться пропорционально изменению объемов производства изделий.

Необходимо найти такой вариант распределения объемов производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость изделий будет минимальной.

Экономико-математическая модель задачи

Введем следующие обозначения:

i - номер филиала (i= 1, …, п; п = 4);

x_i – объем выпускаемой продукции в филиале i;

Т - суммарная потребность в изделиях (Т= 300 тыс. шт.);

К – выделяемые капиталовложения (К = 18 млн руб.);

c_i – себестоимость производства продукции в филиале i;

к_i – удельные капитальные вложения на единицу продукции в филиале i.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

;

;

x_j 0, j = 1, …, n.

Подставим исходные данные, имеем:

= 8Зх₁ + 89х₂ + 95х₃ + 98х₄ ,

ограничения

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ 300 (тыс.шт.),

120х₁ +80 х₂ + 50х₃ + 40х₄ 18 (млн руб.),

х_1,2,3,4 0.