Искажения и шум в идеальном N-разрядном АЦП

До сих пор мы рассматривали процесс дискретизации без анализа квантования, осуществляемого аналого-цифровым преобразователем. Теперь будем трактовать АЦП как идеальный дискретизатор, но учитывать при этом эффекты квантования.

Погрешности (по постоянному или переменному току), вносимые идеальным N-разрядным АЦП, связаны только с процессами дискретизации и квантования. Максимальная погрешность, которую вносит идеальный аналого-цифровой преобразователь при преобразовании постоянного тока, равна ±1/2 МЗР. Любой переменный сигнал, поступающий на вход идеального N‑разрядного АЦП, производит шум квантования. Среднеквадратичное значение шума (измеренное в полосе частот Котельникова, от постоянного тока до f_д/2) приблизительно равно весу наименьшего значащего разряда (МЗР) q, деленному на . При этом предполагается, что амплитуда сигнала составляет, по крайней мере, несколько младших разрядов, так что состояние выхода АЦП изменяется почти при каждом отсчете. Сигнал ошибки квантования от входного линейного пилообразного сигнала аппроксимируется сигналом пилообразной формы с максимальным размахом q, и его среднеквадратичное значение равно (см. рис.2.15).

Можно показать, что отношение среднеквадратичного значения синусоидального сигнала, соответствующего полной шкале, к среднеквадратичному значению шума квантования (выраженное в дБ) равно:

С/Ш=6,02N + 1.76 дБ

где N — число разрядов в идеальном АЦП. Это уравнение справедливо только в том случае, если шум измерен во всей полосе Найквиста от 0 до f_д/2, как показано на рис.2.16. Если ширина полосы сигнала BW меньше f_д/2, то значение отношения сигнал/шум (С/Ш) в пределах ширины полосы сигнала BW возрастет вследствие уменьшения энергии шума квантования в пределах ширины полосы. В этом случае следует использовать следующее выражение:

Приведенное уравнение отражает состояние, именуемое избыточной дискретизацией, при котором частота дискретизации выше, удвоенной ширины полосы сигнала. Корректирующую величину часто называют запасом по дискретизации. Обратите внимание, что для заданной ширины полосы сигнала удвоение частоты дискретизации увеличивает отношение сигнал/шум на 3 дБ.

Хотя среднеквадратичное значение шума точно описывается формулой , его частотное распределение может сильно зависеть от входного аналогового сигнала. Например, корреляция будет больше для периодического сигнала малой амплитуды, чем для случайного сигнала большой амплитуды. Весьма часто в теории полагают, что шум квантования проявляется в виде белого шума, распределенного равномерно по всей ширине полосы Найквиста от 0 до fд /2. К сожалению, это не так. В случае сильной корреляции шум квантования будет сконцентрирован около каких угодно гармоник входного сигнала, но только не там, где бы Вы хотели.

В большинстве устройств входной сигнал АЦП (он обычно смешан с некоторым шумом) представляет собой полосу частот со случайным шумом квантования. Тем не менее, в устройствах спектрального анализа (или при выполнении БПФ на АЦП, использующих спектрально чистый синусоидальный сигнал, см. рис.2.17) корреляция между шумом квантования и сигналом зависит от отношения частоты дискретизации к частоте входного сигнала. Это демонстрируется на рис.2.18, где идеальный выход 12-разрядного АЦП представлен с использованием БПФ с 4096 точками. На левом графике отношение частоты дискретизации к входной частоте было выбрано равным точно 32, и худшая гармоника составляет 76 дБ от основной частоты. Правый график показывает эффект некоторого смещенного отношения, приводящего к относительному разбросу спектра случайного шума, благодаря которому динамический диапазон, свободный от гармоник (SFDR), достигает 92 дБ. В обоих случаях среднеквадратичное значение всех шумовых компонентов равно q/Ö12, но в первом случае шум сконцентрирован около гармоник основной частоты.