Анализ цепей с экспоненциальным изменением. Простейшие RC и RL цепи.

Экспоненциальным называют сигнал вида: f(t) = B+Де^-t/q . В и Д некоторые постоянные величины, q - постоянная времени. В=f(∞), Д=f(0) - f(∞). Если известно, что токи или напряжения в цепи изменяются экспоненциально, то выражения для них могут быть записаны при значении начальных f(0) и стационарных f(∞) значений и постоянной времени цепи q.

Пусть А=|Д|, при Д<0 имеем случай эскпоненциально возрастающего сигнала f(t)=(B-A)+a(t), где a(t)=А(1-е^-t/q). При случае Д>0 получаем экспоненциально убывающий сигнал f(t)=(B-A)+a(t), где a(t)=A_e^-t/q. График произвольного экспоненциального сигнала получается путем смещения оси абсцисс.

Экспоненциальный сигнал является решением дифференциального уравнения qf ¢(t) +f(t) = B. Данному уравнению удовлетворяют токи и напряжения в схемах:

Для первой схемы q=RC, для второй - q=L/R. Иные контуры с экспоненциальными изменениями не известны. Отсюда вывод, что процессы на выходе анализируемой схемы экспоненциальны в том, если ее можно привести к одному из рассматриваемых контуров. Для этого исходная цепь должна содержать лишь реактивности одного вида, все внешние точки и э.д.с. в ней при t=0 не должно изменятся, после исключения всех источников энергии цепь должна допускать сведения её к пассивному RC или RL контуру, из которых по известным R,C и L можно сразу определить постоянную времени.

Простейшие RC и RL являются примерами цепей первого порядка. RC и RL - цепи представляют собой четырехполюсники, состоящие из последовательно соединенных резисторов с конденсаторами или катушками индуктивности. Простейшие электрические цепи, содержащие один энергоемкий элемент (конденсатор или индуктивность), описываются дифференциальными уравнениями первого порядка и поэтому называются электрическими цепями первого порядка. Цепи первого порядка обладают свойством инерционности, т.е. быстрое изменение приложенного к цепи напряжения независимого источника e(t) приводит к плавным изменениям напряжения на емкости (рис. 1, а) или тока в индуктивности (рис. 1, б)

При скачке напряжения e(t) = E₀ ·1(t) на входе RC-цепи происходит заряд конденсатора током i(t). По мере увеличения заряда на обкладках конденсатора увеличиваются напряжение на конденсаторе U_C(t) и энергия электрического поля, накапливаемого в конденсаторе. Для увеличения энергии конденсатора внешние силы (э. д. с. источника) должны совершить продолжительную работу, преодолевая силу кулоновского поля конденсатора C и сопротивление резистора R. Поэтому напряжение на конденсаторе в RC-цепи меняется плавно, стремясь к величине скачка входного воздействия E₀:
.В RL-цепи (рис. 1, б) изменение тока i(t) от внешнего источника e(t), протекающего через индуктивность, порождает явление самоиндукции, т.е. возникновение индукционного тока за счет изменения магнитного потока, сцепленного с индуктивностью L. Возникающая вследствие этого э. д. с. самоиндукции препятствует изменению тока в RL-цепи. Поэтому при подаче на вход RL-цепи скачка напряжения e(t) = E₀ ·1(t) ток в цепи будет плавно увеличиваться, стремясь к своему максимальному значению I₀ = E₀/R. При этом увеличивается и энергия магнитного поля, накапливаемого в индуктивности. Постоянная времени RL-цепи определяется как τ = L/R и характеризует скорость изменения тока в цепи при воздействии на RL-цепь единичного скачка напряжения:

Линейные цепи первого порядка широко применяются для преобразования формы импульсных сигналов. Например, если в RC-цепи выходной сигнал снимается с емкости, то такая RC-цепь выполняет операцию приближенного интегрирования входного сигнала и называется интегрирующей RC-цепью. Если же выходной сигнал снимается с сопротивления, то RC-цепь выполняет операцию приближенного дифференцирования и называется дифференцирующей RC-цепью. Интегрирующая RC-цепь работает как фильтр нижних частот (ФНЧ), пропуская низкочастотные колебания и подавляя высокочастотные. Дифференцирующая RC-цепь напротив пропускает высокочастотный сигнал и подавляет низкочастотный, т.е. работает как фильтр высоких частот (ФВЧ). RL-цепь так же можно рассматривать как интегрирующую (выходной сигнал U_R(t) снимается с резистора) или дифференцирующую (выходной сигнал – U_L(t)) цепь и соответственно как фильтр нижних (ФНЧ) или высоких (ФВЧ) частот.