Из рисунка видно, что для хранения одних и тех же переменных используются две линии задержки, поэтому одну из них можно удалить. При этом схема фильтра преобразуется к виду, представленному на рисунке 2.8. Это и есть каноническая форма программной реализации фильтра.
Рисунок 2.8 – Каноническая форма программной реализации фильтра
Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.
Рисунок 2.9- Последовательное (а) и параллельное (б) соединение
звеньев фильтра
Типовая схема звена второго порядка приведена на рисунке 2.10. На входе звена показан масштабный коэффициент ML (как правило, меньше единицы), предотвращающий появление в процессе вычислений значений сигналов фильтра, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства.
Рисунок 2.10 – Типовое звено второго порядка
Лекция 5. Частотная характеристика и устойчивость цифровых
фильтров
2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра
Комплексным коэффициентом передачи фильтра является отношение комплексной амплитуды выходного сигнала фильтра к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала
.
Коэффициентом передачи фильтра К называется модуль комплексного коэффициента передачи
Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.
Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты
.
Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.
.
Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации (рисунок 2.5) комплексный сигнал с единичной амплитудой
.
Согласно определению комплексного коэффициента передачи комплексный выходной сигнал должен быть равен
.
Из схемы рисунка 2.5 следует, что выходной комплексный сигнал фильтра определяется следующим соотношением
.
Из последнего соотношения получим
(2.11)
Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра (2.7), можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи при известной системной функции фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на :
, (2.12)
где - нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации FД.
2.6. Цифровой резонатор
Цифровой резонатор (рисунок 2.11) представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B1 и B2 равны нулю, а коэффициент B0=1.
Рисунок 2.11 – Цифровой резонатор
Масштабный коэффициент на входе фильтра M предотвращает появление значений сигналов резонатора, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства, на котором он реализован.
Системная функция резонатора описывается следующим соотношением
. (2.13)
Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения
,
.
В цифровом резонаторе полюсы системной функции должны быть комплексно-сопряжёнными. В противном случае (2.13) представляет собой системную функцию фильтра нижних частот.
Следовательно, должно выполняться условие
.
При этом условии полюсы системной функции определяются следующим соотношением
, (2.14)
где .
На рисунке 3.11 показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие
.
Рисунок 2.12 – Полюсы системной функции z1 и z2
При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до FД / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.
Подставляя в последнее соотношение θ0 из (2.14), получим
. (2.15)
Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации FД и коэффициентов системной функции A1 и A2. При A1=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A1<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A1> 0 – больше четверти частоты дискретизации.
Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A1=0.
Подставляя в (2.13) , получим
.
Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:
, (2.16)
. (2.17)
Из (2.16) видно, что на резонансной частота при резонансный коэффициент передачи равен
. (2.18)
На рисунке 2.13 приведена АЧХ, рассчитанная по (2.16), а на рисунке 2.14 – ФЧХ, рассчитанная по (2.17) при A2=0.9, M=1-A2. АЧХ и ФЧХ при A2=0.99 приведены на рисунках 2.15 и 2.16 соответственно.
Рисунок 2.13 -АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-
Рисунок 2.14 -ФЧХ резонатора при =0.9, =0
Рисунок 2.15 -АЧХ резонатора при =0.99, =0, M=1-
Рисунок 2.16 -ФЧХ резонатора при =0.99, =0
Из приведенных графиков видно, что АЧХ цифрового резонатора по форме похожа на резонансную кривую аналогового колебательного контура, а ФЧХ резонатора отличается от ФЧХ аналогового контура тем, что стремится к нулю при больших расстройках относительно резонансной частоты. Вблизи резонансной частоты ФЧХ цифрового резонатора подобна ФЧХ аналогового колебательного контура.
Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А2 показывает, что при стремлении А2 к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.
Для выяснения влияния коэффициента А1 на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А1<0 и при A1>0. Соответствующие графики приведены на рисунках 2.17 .. 2.20.
Рисунок 2.17 - АЧХ резонатора при =0.9, = -0.9, M=1-
Рисунок 2.18 -ФЧХ резонатора при =0.9, = -0.9
Рисунок 2.19 - AЧХ резонатора при =0.9, = 0.9, M=1-
Рисунок 2.20 - ФЧХ резонатора при =0.9, =0.9
Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А1 сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.
2.7. Однородный фильтр
Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего. Схема фильтра приведена на рисунке 2.21.
Рисунок 2.21 – Однородный фильтр
Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями
Определим Z-преобразования последовательностей vn и yn
Определим системную функцию фильтра
.
Используя подстановку , определим комплексный коэффициент передачи
является отношение комплексной амплитуды 
выходного сигнала фильтра к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала 
.
называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.
называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты
.
.
.
.
.
(2.11)
:
, (2.12)
- нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации FД.
. (2.13)
,
.
.
, (2.14)
.
.
изменяется от 0 до FД / 2. При этом конец вектора 
перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при 
, т.е. при 
, где 
- резонансная частота резонатора.
. (2.15)
.
, (2.16)
. (2.17)
резонансный коэффициент передачи равен
. (2.18)
=0.9, 
=0, M=1- 
.
(2.19)
. (2.20)