Под импульсом понимают кратковременное изменение напряжения или тока в электрической цепи. На рис.1.1 приведен пример реального импульса.
Рис. 1.1
Основными характеристиками и параметрами импульсов являются:
1.Амплитуда импульса ;
2.Активная длительность импульса (измеряется на уровне 0,1А) ;
3.Крутизна фронта ;
4.Крутизна спада ;
5.Искажение крыши импульса , которое оценивается отношением ;
6.Амплитуда обратного выброса ;
7.Длительность обратного выброса ;
8.Мощность импульса , где W – энергия импульса.
Периодически повторяющиеся импульсы образуют импульсную последовательность (рис.1.2). Она характеризуется следующими параметрами:
9.Частота импульсной последовательности , где ;
Рис. 1.2
10.Коэффициент заполнения (диапазон изменения 0…1),
скважность (диапазон изменения от до 0)
11.Среднее значение импульса (см. Рис.1.3)
Рис. 1.3
;
Импульсы имеют различную форму: прямоугольные, треугольные, трапециидальные, экспоненциальные и др. (рис.1.4), так же могут быть однополярными (а) и разнополярнми (б) (см. рис.1.5): однополярные импульсы могут быть положительными и отрицательными. Для получения импульсных последовательностей различной формы, частоты и амплитуды применяют специальные генераторы.
Рис. 1.4
(а) (б)
Рис. 1.5
1.2 Прохождение импульсов через RC-цепи.
1.2.1 Напряжение и ток в RC-цепях под воздействием единичного скачка.
На вход RC-цепи (см. рис.1.6) поступает единичный скачок напряжения, изображённый на рис.1.7.
Определим реакцию цепи на единичный скачок, т.е. установим зависимости:
; ; ;
Уравнение скачка, т.е. напряжение на входе цепи описывается в виде:
;
;
Начальные условия: , , .
Уравнение второго закона Кирхгофа для цепи имеет вид:
.
С учётом , , получим ;
Запишем дифференциальное уравнение описывающее RC-цепь в стандартном виде:
,
с начальными условиями , , . (1.1)
Решение такого дифференциального уравнения ищется в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:
.
Свободная составляющая записывается в виде: , и описывает собственный переходной процесс в цепи при отсутствии возмущающего воздействия (т.е. при нулевой правой части уравнения), следовательно,
;
обозначив , запишем это уравнение в операторной форме:
.
Поскольку изменяется во времени переходного процесса по экспоненциальному закону, т.е. , то
Подставив его значение в уравнение свободной составляющей, получим:
, где , постоянная времени RC-цепи,
тогда
.
При , ;
Вынужденная составляющая, обусловленная правой частью уравнения, имеет место после окончания переходных процессов (теоретически при , практически при ) определяется в виде:
.
Теперь запишем полное решение дифференциального уравнения:
.
В этом выражении неизвестной величиной является амплитуда A. Определим А из начальных условий:
;
.
Окончательное решение дифференциального уравнения имеет вид:
; (1.2)
Зависимость при разных постоянных времени RC-цепи приведены на рис.1.8
Рис. 1.8
Напряжение на выходе RC-цепи имеет вид:
.
Зависимости при различных значениях приведены на рис.1.9.
Рис. 1.9
Поскольку , то (1.4)
Зависимость приведена на рис.1.10.
Рис. 1.10
1.2.2 Дифференцирующая (укорачивающая) и разделительная RC-цепи.
Дифференцирующей цепью называют такую цепь, сигнал на выходе которой имеет значения, пропорциональные в каждый момент производной от входного сигнала. Следовательно, . Коэффициент К должен выражаться в секундах, в противном случае размерность левой и правой частей равенства не будет одинакова. Идеальным дифференцирующим устройством можно считать конденсатор С или катушку L. Например, при использовании конденсатора С можно считать входным сигналом напряжение на нём , а выходным – ток в цепи. Эти переменные связаны известным соотношением , т.е. ток в цепи пропорционален производной от входного напряжения. Однако использовать эту схему для практических целей нельзя, так как она не содержит элемента, который обеспечивал бы какую-либо регистрацию значений тока, измерение его значений.
Для того чтобы получить выходной сигнал в форме, удобной для наблюдения или регистрации, в цепь последовательно включают токочувствительный прибор с внутренним сопротивлением R. В простейшем случаи это может быть резистор R. Напряжение на котором пропорционально току .
Рассмотренная RC-цепочка может выполнять функции как дифференцирующей (укорачивающей) при , так и разделительной цепи, если .
На рис.1.11 показаны графики напряжений и такой цепочки.
Рассмотрим два режима:
I. Дифференцирующая цепь – , при этом возможны два варианта: а) ; б) ;
II. Разделительная цепь – , при этом также: а) ; б) ;
а) б)
Рис. 1.11 - а) режим 1 – , б) режим 2 – .
I. Рассмотрим дифференцирующею цепочку под воздействием импульсной последовательности (рис.1.12).
При импульсе конденсатор С заряжается под воздействием зарядного тока , при паузе – разряжается, обуславливая разрядный ток . При этом .
Допустим ,тогда им можно пренебречь ( ).
Рассмотрим режим I, вариант а): , .
После окончания импульса (момент времени ) .
В период паузы ( ) разряд конденсатора С получается полный, т.к. ;
Рис. 1.13
;
.
Тогда
;
При получим:
.
Значит получена идеальная дифференцирующая цепь. Следовательно для того чтобы цепь была дифференцирующей необходимо выполнение трёх условий:
1) ;
2) ;
3) ;
При этом график напряжения при наличии импульсной последовательности на входе будет иметь следующий вид (рис.1.14):
Рис. 1.14 - График напряжения дифференцирующей цепи при наличии импульсной последовательности на входе.
Режим I, вариант б): , :
Графики напряжений и приведены на рис.1.15. В этом режиме с момента времени имеют место, в отличие от варианта а), новые начальные условия . Такой режим называют режимом негармонических возмущений.
В период импульса переходные процессы аналогичны рассмотренным в варианте а), а в период паузы конденсатор С не успевает разрядиться до нуля за время , поэтому нулевые начальные условия не выполняются и для дифференцирующей цепочки такой вариант неприемлем.
Рис. 1.15
Режим II при , обеспечивает вариант разделительной цепочки.
В момент времени , после действия импульса, (см. рис.1.16) , а в момент времени имеют место нулевые начальные условия. Сигнал на выходе повторяет сигнал на входе. Следовательно, такая цепочка является разделительной
Рис. 1.16
Режим II, при , , аналогичен варианту б) режима I, поскольку в момент времени также имеют место новые, ненулевые начальные условия (рис.1.17) (режим негармонических возмущений). Для разделительной цепи такой вариант неприемлем.
(б)
Рис. 1.17
1.2.3 Реальные RC-цепи при импульсном воздействии.
В рассмотренных ранее разделах работа RC-цепи была приведена для идеализированного случая: длительность фронта входного импульса полагали равной нулю, а выходное сопротивление генератора и паразитную ёмкость нагрузки - предельно малыми. В действительности же все эти величины конечны. Одновременный учёт их затруднён. Оценим влияние сопротивления генератора , как наиболее существенное (см. рис.1.18).
Рис. 1.18 - Принципиальная схема RC-цепи с учётом генератора
С учётом внутреннего сопротивления генератора напряжение на входе RC-цепочки будет меньше Э.Д.С. генератора E, на величину потерь напряжения на внутренне сопротивлении генератора.
С учётом этого:
; ; (см. рис.1.19)
При значении сопротивления , напряжение . Следовательно, обеспечивая реальную цепь можно практически считать идеальной.
Рис. 1.19
1.3 Фиксаторы уровня в дифференцирующих RC-цепях.
Входные импульсные последовательности как правило однополярные, а импульсные последовательности на выходе рассмотренных цепей, как правило двухполярные. Часто возникает необходимость обеспечения на выходе RC-цепей однополярных последовательностей. Такое преобразование осуществляется с помощью фиксаторов уровня.
Фиксаторы уровня можно разделить на несколько подгрупп. В зависимости от того, какова полярность импульсов, должна быть на выходе, различают фиксаторы уровня положительных и отрицательных импульсов, а также фиксаторы уровня биполярных сигналов. В зависимости от того, на каком уровне требуется зафиксировать положение импульса (по уровню основания импульса или по уровню его вершины), различают фиксаторы начального уровня и фиксаторы вершины импульсов.
Простейший вариант фиксатора нулевого уровня положительных импульсов представлен на рис.1.20. На вход поступает импульсная последовательность положительных импульсов. В течение импульса происходит заряд конденсатора С от источника Э.Д.С. E током .
Рис. 1.20 - Принципиальная схема фиксатора нулевого уровня положительных импульсов
Постоянная времени цепи заряда определяется выражением:
.
Поскольку , ( , ) и
, то получим ориентировочное значение постоянной времени заряда цепочки .
При наличии импульса происходит заряд конденсатора, а разряд происходит в течение паузы. При этом постоянная времени разряда
.
Поскольку , то .
Часто выполняется условие , тогда .
Поскольку сопротивление , то постоянная времени .
Следовательно, применение диода VD ускоряет разряд конденсатора. Напряжение на конденсаторе С приведено на рис.1.21.
Рис. 1.21
Напряжение на выходе фиксатора . В момент времени его величина определяется выражением:
;
поскольку сопротивление диода , то напряжение ; (см. рис.1.22).
Рис. 1.22
Фиксатор нулевого уровня отрицательных импульсов строится аналогично (см. рис. 1.23), причём диод VD1 включается в противоположном направлении.
Рис. 1.23 - Принципиальная схема фиксатора нулевого уровня отрицательных импульсов
,
при , ; .
,
при , ; ;
Применение диода VD1 ускорит заряд конденсатора ( );
Рис. 1.25 Рис. 1.24
;
Схема фиксатора произвольного уровня для положительных импульсов приведена на рис.1.26.
Источник опорного напряжения обеспечивает изменение напряжения в пределах ;
Когда , что имеет место в период действия, импульса диод VD1заперт и конденсатор С заряжается (ток ).
Если , (период паузы) диод VD1открыт и конденсатор С разряжается (ток ).
Напряжение и на выходе фиксатора приведены на рис.1.27. Выходное напряжение фиксатора аналогично напряжению приведенному на рис.1.22, только зафиксировано не на «0» уровне, а на уровне .
Рис. 1.27
Схема фиксатора произвольного уровня для отрицательных импульсов приведена на рис.1.28.
Осциллограммы иллюстрирующие работу схемы приведены на рис.1.29.
Рис. 1.29
1.4 Интегрирующие RC-цепи.
Интегрирующей цепью называют четырёхполюсник, сигнал на выходе которого пропорционален интегралу от входного сигнала. В случае, когда входной и выходной сигналы выражаются в одинаковых единицах (например, в единицах напряжения), операцию, выполняемую интегрирующей цепью, можно записать в виде соотношения:
,
где К – коэффициент пропорциональности, имеющий разрядность с-1.
На рис.1.30 приведена принципиальная схема интегрирующей цепи. Пусть , что практически имеет место при цепи;
Интегрирующие цепи часто применяют для удлинения импульсов или для получения напряжения, изменяющегося по закону, близкому к линейному.
Для интегрирующей цепи:
,
значение тока в цепи .
Подставив значение тока в формулу , получим:
.
Для получения идеальной интегрирующей цепи необходимо, чтобы выполнялось условие , тогда получим:
.
Для того, чтобы обеспечить низкий коэффициент передачи цепи, т.е. ( ), необходимо обеспечить условие (см. рис.1.31).
Рис. 1.31
Угол наклона прямой на выходе интегрирующей цепи пропорционален амплитуде интегрируемого напряжения (импульса) и обратно пропорционален постоянной времени цепи .
Следовательно для того чтобы цепочка точно интегрировала необходимо выполнение следующих условий:
1) ;
2) .
В период действия импульса ( ):
, значит .
В момент времени напряжение на выходе цепи будет:
.
Погрешности интегрирующей цепи:
На рис.1.32 показано выходное напряжение интегрирующей RC-цепи, где:
1. Реальное напряжение интегрирующей цепи .
2. Напряжение на выходе идеального интегратора;
Рис. 1.32
При цепочка работает практически без погрешности.
Определим максимальную погрешность, имеющую место в конце импульса.
; ;
где - максимальное значение абсолютной и - относительной погрешности.
Значение погрешности при составит:
.
Возможно провести оценку погрешности в другом виде:
– для реального интегратора, а
– для идеального интегратора.
Тогда, .
Подставив значение , выраженное через , получим:
.
Упростив выражение, при выполнении условия , получим ориентировочное значение относительной погрешности интегрирующей цепи: . Если , то .
Недостатки интегрирующих RC-цепей:
1) если велико (сотни миллисекунд и более) то требуется получения больших постоянных времени (десятки секунд), что неконструктивно;
2) При больших значениях С и R цепи затрудняется её согласование с сопротивлением нагрузки, что увеличивает погрешность цепи.
В таких случаях целесообразно применять интеграторы на операционных усилителях (ОУ). Схема интегратора приведена на рис.1.33.
Рис. 1.34 - Принципиальная схема интегрирующей RC-цепи с применением ОУ
Для данной схемы, пренебрегая входным током ОУ в соответствие с I-м законом Кирхгофа для инвертирующего входа усилителя получим:
;
отсюда следует: + начальные условия;
Начальные условия на выходе усилителя можно задавать с помощью схемы установки нуля ОУ, а изменять постоянную времени интегрирования переключением конденсатора С.
;
;
;
;
, которое оценивается отношением 
;
;
;
, где W – энергия импульса.
, где 
;
(диапазон изменения 0…1),
(диапазон изменения от 
до 0)
;
; 
; 
;
Уравнение скачка, т.е. напряжение на входе цепи описывается в виде:
;
;
, 
, 
.
.
, 
, получим 
;
,
. (1.1)
.
, и описывает собственный переходной процесс в цепи при отсутствии возмущающего воздействия (т.е. при нулевой правой части уравнения), следовательно,
;
, запишем это уравнение в операторной форме:
.
изменяется во времени переходного процесса по экспоненциальному закону, т.е. 
, то
, отсюда находим корень характеристического уравнения
.
, где 
, постоянная времени RC-цепи,
.
, 
;
) определяется в виде:
.
.
.
; (1.2)
при разных постоянных времени RC-цепи приведены на рис.1.8
.
при различных значениях 
приведены на рис.1.9.
, то 
(1.4)
приведена на рис.1.10.
. Коэффициент К должен выражаться в секундах, в противном случае размерность левой и правой частей равенства не будет одинакова. Идеальным дифференцирующим устройством можно считать конденсатор С или катушку L. Например, при использовании конденсатора С можно считать входным сигналом напряжение на нём 
, а выходным – ток 
в цепи. Эти переменные связаны известным соотношением 
, т.е. ток в цепи пропорционален производной от входного напряжения. Однако использовать эту схему для практических целей нельзя, так как она не содержит элемента, который обеспечивал бы какую-либо регистрацию значений тока, измерение его значений.
.
, так и разделительной цепи, если 
.
такой цепочки.
; б) 
;
, при паузе – разряжается, обуславливая разрядный ток 
. При этом 
.
,тогда им можно пренебречь ( 
).
) 
.
) разряд конденсатора С получается полный, т.к. 
;
.
;
получим:
.
при наличии импульсной последовательности на входе будет иметь следующий вид (рис.1.14):
имеют место, в отличие от варианта а), новые начальные условия 
. Такой режим называют режимом негармонических возмущений.
, поэтому нулевые начальные условия не выполняются и для дифференцирующей цепочки такой вариант неприемлем. 
В момент времени 
, после действия импульса, (см. рис.1.16) 
, а в момент времени 
Режим II, при 
, 
, аналогичен варианту б) режима I, поскольку в момент времени 
также имеют место новые, ненулевые начальные условия (рис.1.17) (режим негармонических возмущений). Для разделительной цепи такой вариант неприемлем.
и паразитную ёмкость нагрузки 
- предельно малыми. В действительности же все эти величины конечны. Одновременный учёт их затруднён. Оценим влияние сопротивления генератора 
на величину потерь напряжения на внутренне сопротивлении генератора.
; 
; (см. рис.1.19)
, напряжение 
. Следовательно, обеспечивая 
реальную цепь можно практически считать идеальной.
.
.
, ( 
, 
) и
, то получим ориентировочное значение постоянной времени заряда цепочки 
.
.
, то 
.
, тогда 
.
, то постоянная времени 
.
Следовательно, применение диода VD ускоряет разряд конденсатора. Напряжение на конденсаторе С приведено на рис.1.21.
. В момент времени 
;
, то напряжение 
; (см. рис.1.22).
,
.
,
;
);
;
;
, что имеет место в период действия, импульса диод VD1 заперт и конденсатор С заряжается (ток 
, (период паузы) диод VD1 открыт и конденсатор С разряжается (ток 
).
.
;
,
, что практически имеет место при 
цепи;
,
.
.
, тогда получим:
.
), необходимо обеспечить условие 
):
, значит 
.
.
; 
;
- максимальное значение абсолютной и 
- относительной погрешности.
составит:
.
– для реального интегратора, а
– для идеального интегратора.
.
, выраженное через 
, получим:
.
, получим ориентировочное значение относительной погрешности интегрирующей цепи: 
. Если 
, то 
.
В таких случаях целесообразно применять интеграторы на операционных усилителях (ОУ). Схема интегратора приведена на рис.1.33.
;
+ начальные условия;