Z-преобразование

Операторный метод, базирующийся на преобразовании Лапласа, является одним из основных направлений в исследовании линейных систем. Преобразование Лапласа (.1) позволяет осуществить перевод оригинала из области непрерывного времени t в его комплексное изображение E(s) в s-области.

, (.1)

В области дискретного времени преобразование Лапласа последовательности принимает вид суммы:

(.2)

Трансцендентность изображений дискретных .последовательностей из-за наличия экспоненты в ( .2) приводит к определенным трудностям, поэтому применительно к дискретным и цифровым устройствам пользуются не дискретным преобразованием Лапласа, а -преобразованием, которое получается из (:2) заменой :

(.3)

Свойства -преобразования.

Линейность. Если и являются -преобразованиями последовательностей и , то любых действительных а и b z-преобразование равно Это непосредственно вытекает из (.3) и является подтверждением принципа суперпозиции из определения.

Задержка. Если - преобразование относится к последовательности , то -преобразование последовательности ,задержанной на тактов, равно . При определении -преобразования ординаты в соответствии с (.3) умножаются на комплексные числа последовательности и результаты умножения суммируются.

Очевидно, что -преобразование будет точно таким же, если оперировать несмещенной последовательностью и последовательностью смещенной на т тактов в сторону опережения.

Формульная запись при этой операции имеет вид:

(.4)

Из (.4) следует, в частности, что в выражениях z-форм множитель z^±m должен рассматриваться как оператор сдвига преобразуемой последовательности на т тактов дискретизации. Знак показателя определяет направление сдвига (минус - задержка, плюс - опережение).

Свертка. Если последовательности соответствует -преобразование , а последовательности -преобразование , то дискретной свертке этих последовательностей:

(.5)

соответствует произведение их - преобразований:

(.6)

Обратное z-преобразование определяется формулой:

(.7)