Спектральные характеристики случайных процессов

Для каждой реализации случайного процесса можно определить свою спектральную плотность , выполнив прямое преобразование Фурье. Для множества (ансамбля) реализаций можно определить статистически усреднённую спектральную плотность :

Таким образом, усреднённая спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожидания). Для центрированного случайного процесса и .

Вывод – вычисление не несёт информации о собственно случайной составляющей процесса, так как фазы спектральных составляющих в различных реализациях независимы и случайны.

Рассмотрим спектральную плотность мощности случайного процесса, так как мощность не зависит от соотношения фаз спектральных составляющих.

Пусть – центрированный случайный процесс и ограничим длительность его реализации конечным интервалом . Найдём для реализации на этом интервале спектральную плотность через прямое преобразование Фурье.

Согласно равенству Парсеваля:

Теперь определим среднюю мощность реализации на данном временном интервале:

При увеличении времени энергия всей реализации неограниченно возрастает, а средняя мощность стремиться к некоторому пределу.

Пусть , тогда получаем:

,

где – спектральная плотность средней мощности или спектральная плотность мощности – power spectral density (PSD).

Для центрированного эргодического процесса средняя мощность для любой реализации равна дисперсии процесса, т.е.:

Заметим, что – вещественная функция и не содержит информации о фазах спектральных составляющих, тем самым она не позволяет восстановить отдельные реализации случайного процесса.