Корреляционные функции случайных процессов

Важное значение имеет анализ поведения ансамбля, т.е. совокупности реализаций случайной величины, в различные моменты времени, например, и . Для такого анализа исследуются два сечения случайного процесса. Совокупность таких сечений приводит к двумерной случайной величине: , которая описывается двумерной плотностью вероятностей . Тогда произведение вида представляет собой вероятность того, что реализация случайного процесса в момент времени попадает в бесконечно малый интервал шириной в окрестности , а в момент времени – в интервал в окрестности :

Задание двумерной плотности вероятности позволяет определить ковариационную функцию:

Ковариационная функция случайного процесса представляет собой статистически усреднённое произведение значений случайной функции в момент времени и . При этом для каждой реализации случайного процесса произведение является некоторым числом. С помощью двумерной плотности вероятности такое усреднение произведений по всему множеству реализаций описывается так:

При анализе случайных процессов часто необходимо исследовать их флуктуационную составляющую. Для этого используется корреляционная функция, которая представляет собой статистически усреднённое произведение значений центрированно случайной функции в моменты времени и :

Корреляционная функция случайного процесса характеризует степень статистической связи значений для реализаций случайного процесса в моменты времени и .

Если , то тогда:

Если случайный процесс центрирован, то и тогда .