Представление периодических сигналов в частотной области

Периодические сигналы могут быть описаны в виде суммы (или суперпозиции) гармонических составляющих или гармоник, каждая из которых имеет определённую частоту, амплитуду и начальную фазу. Конкретный набор таких составляющих будет определяться видом сигнала . Для того, чтобы такое представление можно было бы осуществить, фрагмент сигнала на периоде должен удовлетворять условиям Дирихле, т.е.:

1) не должно быть разрывов II рода;

2) число разрывов I-го рода (или скачков) должно быть конечным;

3) число экстремумов должно быть конечным.

При соблюдении этих требований периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье:

, (2.4)

где – круговая частота или период повторения сигнала;

– постоянная составляющая сигнала;

;

;

– -я частотная составляющая сигнала или -я гармоника.

Заметим, что пределы интегрирования могут быть и другими, например, от 0 до – важно, чтобы охватывался бы лишь весь период сигнала .

Если – чётная функция (это значит, что ), то все и, наоборот, если – нечётная функция ( ), то все .

Такое разложение можно записать в тригонометрической форме:

, (2.5)

где – амплитуда -й гармоники;

– начальная фаза.

При этом если – чётная, то и если – нечётная, то .

Множество амплитуд гармоники называют амплитудным спектром, а множество фаз – фазовым спектром.

Если – действительная функция, то:

.

Пример: Пусть исходный сигнал представляет собой последовательность прямоугольных импульсов с постоянным периодом Т (рис. 2.1).

Рис.2.1. Последовательность прямоугольных импульсов

Т.к. такой сигнал чётный, то надо определить

– скважность; ;

– коэффициент заполнения (duty cycle);

Амплитудный спектр подобного сигнала показан на рис.2.2..

Рис.2.2. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов.

Амплитудный и фазовый спектры периодических сигналов дискретны, т.е. определены на фиксированных частотах