Интегрирование системы уравнений

Пусть задана система двух уравнений с двумя искомыми функциями

,

.

Требуется найти решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям , при .

Будем определять значения функции и при значениях аргумента , , ,… , ,… . Пусть

.

Приближенные значения функции обозначим

, , ,… , ,…

и соответственно

, , ,… , ,… .

Рекуррентные формулы, по типу формул , выглядят следующим образом

,

.

Для проведения вычислений по этим формулам нужно знать, кроме , , значения , и , . Эти значения находим по формулам типа

,

,

,

.

Для применения этих формул нужно знать , , , , , . Из уравнений и находим

,

.

Дифференцируя уравнения и и подставляя значения , , , , найдем

,

.

Дифференцируя еще раз, найдем и . Зная , , , находим из уравнений и

, , , , , , , , , .

По формулам и найдем и , а из уравнений и найдем и . Вычислив , , , снова по формулам и найдем и и т. д.

Рассмотрим пример нахождения приближенных значений решений системы уравнений , с начальными условиями , при . Значения решения определим при , , , .

Из данных уравнений получим значения для и

,

.

Дифференцируя данные уравнения, находим

,

,

,

.

По формулам и находим

,

,

,

.

На основании данных уравнений находим

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Далее по формулам и находим

,

,

,

.

Известно решение этой системы уравнений , (гиперболические синус и косинус ). Поэтому пять верных, после запятой, знаков решений равны , .

Так как уравнения высших порядков и системы уравнений высших порядков во многих случаях сводятся к системе уравнений первого порядка, то изложенные методы применимы к решению этих задач.