Цифровые фильтры

DAC (full decoded). Функциональные схемы и свойства.

Функциональные схема ЦАП на FD (full decoded).

Цифровые фильтры

2.1. Z – преобразование и его свойства

Прямым Z - преобразованием дискретной последовательности x_n, где n = 0, 1, 2.., называется функция комплексной переменной z, определяемая следующим соотношением

. (2.1)

Функция определена для тех значений z, при которых ряд сходится.

Соотношение (2.1) определяет одностороннее Z-преобразование. Двустороннее Z-преобразование отличается от одностороннего тем, что нижним пределом суммирования является бесконечность.

Основные свойства прямого Z-преобразования.

1.Линейность. Пусть последовательность y_n представляет взвешенную сумму двух последовательностей x_1n и x_{2 n}

,

где постоянные весовые коэффициенты.

Тогда Z-преобразование последовательности y_n определяется следующим соотношением

. (2.2)

Таким образом, Z-преобразование взвешенной суммы двух последовательностей равно взвешенной сумме Z-преобразований этих последовательностей.

2. Сдвиг последовательностей. Пусть последовательность y_n представляет собой сдвинутую (задержанную) на m отсчетов последовательность x_n (рисунок 2.1)

Рисунок 2.1

.

Тогда Z-преобразование Y(z) последовательности y_n выражается через Z-преобразование X(z) последовательности x_n следующим образом

. (2.3)

Таким образом, Z-преобразование последовательности, сдвинутой относительно исходной на m отсчетов, равно Z-преобразованию исходной последовательности, умноженной на z ^–m.

3. Дискретная свертка двух последовательностей. Дискретной сверткой двух последовательностей x_n и h_n называется последовательность y_n, определяемая следующим соотношением

. (2.4)

Z-преобразование Y(z) дискретной свертки y_n двух последовательностей равно произведению Z - преобразований H(z) и X(z) исходных последовательностей h_n и x_n

, (2.5)

где .

Обратное Z-преобразование определяется следующим соотношением

Интеграл от функции комплексной переменной, взятый по замкнутому контуру С, содержащемуся в области, где функция является однозначной и аналитической, за исключением особых точек однозначного характера, и не проходящему через особые точки, равен произведению суммы вычетов относительно всех особых точек, заключенных внутри С, на 2πj.

Разложение в ряд Лорана функции вблизи полюса a или существенно особой точки имеет вид:

. Наивысшая степень члена называется порядком полюса. При m=1 полюс называется простым.

Если разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями двучлена , то точка a является существенно особой точкой.

Коэффициент при называется вычетом функции относительно особой точки a

Если подинтегральная функция может быть представлена в виде и имеет простой полюс в точке a , то

Если - простые полюсы для , то

Пример 1.

Определите Z-преобразование последовательности

Сумма N членов геометрической прогрессии со знаменателем q, первым членом a₀, последним членом a_N-1 определяется по формуле

.

При q<1 и вычитаемое в числителе дроби a_N-1q стремится к нулю, поэтому сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

На рисунке заштрихована область сходимости X(z)

Пример 2.

Z-преобразование последовательности x_n определяется соотношением

Определите x_n.

2.2. Импульсная характеристика цифрового фильтра. Понятие о рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтрах, БИХ- и КИХ-фильтрах

Цифровым фильтром дискретного сигнала называется линейная частотно-избирательная система, реализуемая на основе вычислительного устройства.

Пусть при действии на входе цифрового фильтра последовательности отсчетов x_n на его выходе действует последовательность y_n .

Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n зависит только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1 ..и т.д., то такой фильтр называется нерекурсивным.

Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n зависит не только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1 ..и т.д., но и от отсчетов выходного сигнала в предшествующие моменты времени, то такой фильтр называется рекурсивным.

Импульсной характеристикойцифрового фильтра называется выходной сигнал фильтра при действии на его входе единичного отсчета и нулевых начальных условиях.

Единичный отсчет x_n и импульсная характеристика h_n

Фильтр с конечной импульсной характеристикой называется КИХ-фильтром (КИХ-конечная импульсная характеристика). Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой называют БИХ-фильтром.

2.3. Определение выходного сигнала фильтра по входному сигналу и импульсной характеристике

Определение выходного сигнала фильтра по входному сигналу и импульсной характеристике

В выражении для y₂ первое слагаемое равно нулю, т.к. x₂ = 0, третье слагаемое равно нулю, т.к. h₂=0.

В общем случае n – ый отсчет выходного сигнала определяется следующими соотношениями:

(2.6)

или

. (2.7)