Основная идея метода заключается в том, что на участках оси независимой переменной τ в качестве решения y принимается функция определенного типа, но с неизвестными пока параметрами (коэффициентами). Выражения для функции и ее производных подставляются в решаемое уравнение. Записывается выражение для функционала S, который представляет собой сумму квадратов невязок (разностей значений правой и левой частей уравнения) для ряда значений независимой переменной. Коэффициенты аппроксимирующей функции находятся путем минимизации функционала S. Можно использовать либо методы безусловной оптимизации, либо прямые методы (что будет рассмотрено далее).
В области определения функции y выделяются узловые точки iс шагом Dt. Назначается последовательность интервалов интегрирования z, каждый из которых включает несколько узловых точек j. В пределах каждого интервала интегрирования используется локальная независимая переменная t.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1го порядка:
(2.23)
где А, В – заданные коэффициенты уравнения, F – воздействие.
В качестве функции аппроксимирующей решение y на каждом интервале интегрирования чаще всего принимается полином knой степени:
(2.24)
Соответственно выражения для производной:
(2.25)
где a1¸akn – коэффициенты полинома, подлежащие определению. Значения коэффициента а0 определяется из удовлетворения начальному условию или решению полученному на предыдущем интервале интегрирования:
(2.26)
Подставляя выражения для y, y¢в решаемое уравнение получим:
(2.27)
Сумма квадратов невязок (разностей значений правой и левой частей уравнения) по всем точкам рассматриваемого интервала интегрирования (j=0¸m) имеет вид:
(2.28)
Значение функционала S будет минимальным при выполнении условий:
(2.29)
Удовлетворяя каждому приведенному условию можно записать СЛАУ имеющую коэффициенты матрицы (МА) и элементы вектора правой части (МВ) определяемые зависимостями:
(2.30)
где L – индекс строки матрицы (line), C – индекс столбца (column).
В общем случае 1 £ L £ kn, 1 £ C £ kn.
Для дифференциального уравнения первого порядка решение которого аппроксимируется полиномом, порядок матрицы численно равен порядку аппроксимирующего полинома.
Решив полученную СЛАУ найдем значения коэффициентов полинома a1¸akn.
Следует отметить, что при постоянных значениях коэффициентов уравнения A, B и при фиксируемых значениях Δτ и m коэффициенты матрицы MAL,C одинаковы для всех интервалов интегрирования, а изменяются только значения MBL.
Рассмотрим конкретный пример аппроксимации решения полиномом третьего порядка.
(2.31)
Подставим аппроксимирующую функцию и ее производную в решаемое уравнение:
Сумма квадратов невязок для точек интервала Δτ:
Удовлетворяя условиям:
получим СЛАУ третьего порядка.
Рассмотрим первое условие:
После формальных преобразований получим первое уравнение СЛАУ:
Аналогично получаем второе и третье уравнения:
Решение обыкновенного дифференциального уравнения 2го порядка:
(2.32)
где А, В, D – заданные коэффициенты уравнения, F – воздействие.
Выражения для аппроксимирующей функции и ее производных:
где a2¸akn – коэффициенты полинома, подлежащие определению. Значения коэффициентов а0 и а1 определяются из удовлетворения начальным условиям или решению полученному на предыдущем интервале интегрирования:
Подставляя выражения для y, y¢ и y¢¢ в решаемое уравнение получим:
Сумма квадратов невязок для точек рассматриваемого интервала интегрирования (j=0¸m) имеет вид:
Выполняя условия:
получим выражения для коэффициентов матрицы МА и элементов вектора правой части МВ:
где L – индекс строки матрицы (line), C – индекс столбца (column).
В общем случае 1 £ L £ (kn-1), 1 £ C £ (kn-1).
Для дифференциального уравнения второго порядка, решение которого аппроксимируется полиномом, порядок матрицы на единицу меньше порядка аппроксимирующего полинома.
При постоянных значениях коэффициентов уравнения A, B, D и при фиксируемых значениях Δτ и m коэффициенты матрицы MAL,C одинаковы для всех интервалов интегрирования, а изменяются только значения MBL.
МИКРОЭКОНОМИКА
Краткий курс лекций для студентов 1 курса
(специальности менеджмент1-26 02 02
и логистика1-26 02 05)
Витебск 2011
ВИТЕБСКИЙ ФИЛИАЛ
УЧРЕЖДЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЦИИ ПРОФСОЮЗОВ БЕЛАРУСИ
«МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИТСО»
Кафедра экономики и менеджмента
Е.Н.Лебедева
МИКРОЭКОНОМИКА
Краткий курс лекций для студентов 1 курса
(специальности менеджмент1-26 02 02
и логистика1-26 02 05)
Витебск 2011
УДК 330.101
ББК 65.012
Л 33
Автор: доцент кафедры экономики и менеджмента УО ФПБ «МИТСО» Е.Н.Лебедева.
Рецензенты: доц.каф.экономической теории и истории ВГАВМ, к.э.н. Дубенецкий Н.А., доцент каф. экономики и менеджмента УО ФПБ МИТСО ВФ Бекиш Е.И.
Печатается по решению Научно-методического совета ВФ УО ФПБ МИТСО. - Протокол № 6 от 04.03. 2011г.
Л 33 Микроэкономика. Краткий курс лекций для студентов 1 курса
(специальности менеджмент1-26 02 02 и логистика1-26 02 05)
Данный курс лекций поможет овладеть знаниями по предмету и лучше усвоить материал./ Е.Н.Лебедева. - Витебск: ВФ УО ФПБ «МИТСО», 2011. – 114 с.
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
