Математическая модель динамической системы. Определение адаптивной системы

Будем рассматривать конечномерную нелинейную и нестационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в непрерывном времени (говорят, динамическую систему, динамический объект или, короче, объект) вида:

, (1.1.1)

-порядок системы, .

Систему (1.1.1) для краткости будем записывать в виде векторного уравнения:

(1.1.2)

где , , t - время (вещественная переменная),

- множество допустимых управлений - вектор-функции u, - правые части дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2), , означает неназванные аргументы.

Область определения вектор-функции fправых частей дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2) имеет следующий вид:

(1.1.3)

где знак «×» означает декартово произведение множеств,

- множество моментов времени (вещественная полуось), - -мерное линейное пространство (афинное) над полем .

В можно построить какую либо норму («длину» вектора), например, векторную евклидову норму вида тогда пара { , ||·||},называется линейным нормированным пространством (над полем R).

Вектор-функция в области обладает следующими свойствами:

(а) f - непрерывна по всем аргументам ;

(б) f - имеет непрерывные частные производные вида , (1.1.4) ограниченные равномерно по на любом компактном подмно-

жестве из области

Условия (1.1.4) обеспечивают однозначную разрешимость системы дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2) для любой тройки ,т.е для любой точки и некоторого управления существует единственное решение системы дифференциальных уравнений (1.1.2) вида , определённое на некотором промежутке , и удовлетворяющее тождеству:

(1.1.5)

Пара называется начальными данными решения , тождество (1.1.5) называется начальным условием решения , а само решение называется решением задачи Коши.

Таким образом, условия (1.1.4) обеспечивает существование и единственность решения, проходящего через любую точку с некоторым управлением u. А это означает, что для системы дифференциальных уравнений (1.1.2) имеет место следующая эквивалентность:

условия (1.1.4) для -область единственности.

Определение. Система дифференциальных уравнений (1.1.1) или (1.1.2) определяет так называемую конечномерную гладкую динамическую систему с непрерывным временем. Это наиболее общая (и общеупотребительная) математическая модель нелинейной и нестационарной динамической системы, которую рассматривает современная математическая теория систем управления. ■

Определение.Динамическая система (1.1.2) называется системой с обратной связью, если управление u есть функция состояния и времени:

Тогда

(1.1.6)

называется системой с обратной связью (по состоянию), или замкнутой системой (по состоянию). ■

Замечание. Отметим, что в системе с обратной связью по состоянию (1.1.6) из правых частей исключено управление и они зависят только от аргументов , поэтому при дальнейшем изложении методов теории устойчивости систем управления будем описывать систему векторным уравнением , опуская черточку над fв уравнении (1.1.6) и аргумент uв уравнении (1.1.2).■

Определение. Решением системы

(1.1.7)

называется функция , обладающая следующими свойствами:

(а) - определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема по на некотором промежутке , включающем точку t₀;

(б) точки - области определения системы (1.1.7) вида (опускаем аргумент u):

; (1.1.8)

(в) удовлетворяет уравнению (1.1.7):

■

Определение. Решение системы (1.1.7) называется бесконечно продолжимым (продолжаемым) вправо, если оно определено на всем полубесконечном интервале времени . ■

В теории дифференциальных уравнений имеет место следующая теорема.