Реляционная алгебра.

Поскольку отношения – это множества, то над ними применимы все операции, производимые над множествами.

Оерации реляционной алгебры делятся на два класса : теоретико-множественные и специальные.

В состав теоретико-множественных операций входят операции:

· объединения отношений;

· пересечения отношений;

· взятия разности отношений;

· прямого произведения отношений.

Специальные реляционные операции включают:

· ограничение отношения;

· проекцию отношения;

· соединение отношений;

· деление отношений.

Кроме того, в состав алгебры включается операция присваивания, позволяющая сохранить в базе данных результаты вычисления алгебраических выражений, и операция переименования атрибутов, дающая возможность корректно сформировать заголовок (схему) результирующего отношения.

Объединение отношений.

Пусть имеется два исходных отношения R1 и R2. Операция объединения отношений обозначается следующим образом : R1 U R2. Результат объединения - отношение, объединяющее кортежи, содержащиеся в исходных отношениях. Отношения называются совместимыми по объединению в том и только в том случае, когда они обладают одинаковыми заголовками. Это означает, что в заголовках обоих отношений содержится один и тот же набор имен атрибутов, и одноименные атрибуты определены на одном и том же домене. В случае, если два отношения частично совместимы по объединению, то до выполнения операции объединения эти отношения можно сделать полностью совместимыми по объединению путем применения операции переименования.

Пересечение отношений.

Результат операции – отношение, которое включает кортежи, общие для R1 и R2.

R1 R2

Разность отношений.

Результат операции – отношение, содержащее кортежи, являющиеся кортежами отношения R1 и не являющиеся кортежами отношения R2.

Для данных отношений R1 и R2 в результате получим

Прямое декартово произведение

Результат - отношение, кортежи которого являются конкатенацией (сцеплением) кортежей первого и второго отношений. Путь имеется –m-местное отношение R1 и n-местное отношение R2. В результате операции получаем (m+n)- местное отношение, причем первые m элементов представляют собой кортежи из отношения R1, а последние n элементов – кортежи из отношения R2.

Два отношения совместимы по взятию произведения в том и только в том случае, если множества имен атрибутов этих отношений не пересекаются. Любые два отношения могут быть сделаны совместимыми по взятию прямого произведения путем применения операции переименования к одному из этих отношений.

Пример . Пусть имеются два отношения R1 и R2. Результат их произведения будет следующим :

Проекция отношений.

При выполнении проекции отношения на заданный набор его атрибутов получается отношение, кортежи которого производятся путем взятия соответствующих значений из кортежей отношения-операнда. Операция проекции предназначена для изменения числа столбцов в отношении, т.е. в том случае, когда из кортежей необходимо исключить или выделить какие-либо атрибуты.

Обозначим через номера столбцов n-арного отношения. Операцию проекции обозначим

Операция заключается в том, что из отношения R выбираются столбцы и компонуются в указанном порядке .

Пример.

Рассмотрим отношение ТЕЛЕВИЗОР

Наименование	Индекс	Диагональ	Цена
LG	MX23VD
Samsung	SVX89FT
Grundig	GR45TX
Sony	LPD67E
Lg	MX24VD

В последней проекции оказались одинаковыми две строки .

Ограничение отношений

Результатом ограничения отношения по некоторому условию является отношение, включающее кортежи отношения-операнда, удовлетворяющее этому условию. Для выполнения ограничения отношение просматривают по строкам и выделяют множество кортежей, удовлетворяющих заданным условиям. Пусть из отношения ТЕЛЕВИЗОР требуется выделить те марки телевизоров, которые имеют стоимость меньше 15000. В результате получим следующее отношение :

Соединение отношений

Операция соединения отношений обратна операции проекции. При соединении двух отношений по некоторому условию образуется отношение, кортежи которого являются конкатенацией кортежей первого и второго отношений и удовлетворяют этому условию.

Рассмотрим два бинарных отношения R(A, B) и R(B,C). Соединением отношений R1 и R2 называют операцию, при которой соединяют два отношения ,используя в качестве признака соединения какой-либо общий атрибут этих отношений.

.

Пример

Такая операция соответствует случаю стыковки таблиц отношений. Поскольку в результирующей таблице атрибуты с одинаковыми именами присутствуют дважды, то один из столбцов исключают. Такую операцию называют естественным соединением