Пусть e1,…,en базис V, 
- матрица линейного преобразования 
, Ge – матрица Грама скалярного произведения. Перейдем от равенства векторов 
к равенству координат 
. Из этого равенства выводим 
. В случае ортонормированного базиса формула принимает более простой вид 
. Для евклидова пространства, знак комплексного сопряжения можно опустить.
Свойство 8.3. Перечислим свойства сопряженного преобразования
1) 
2) 
3) 
4) 
5) Если W инвариантное подпространство , то ортогональное дополнение к W инвариантно относительно 
.
Доказательство. Из равенства 
выводим первое свойство. Второе свойство получается из равенств 
. Для доказательства третьего свойства достаточно рассмотреть равенства 
. Четвертое свойство доказывается равенствами 
. Докажем пятое свойство. Для произвольного вектора x из W и произвольного вектора 
скалярное произведение 
. По определению сопряженного преобразования 
, и, значит 
, что и требовалось доказать.
Пятое свойство позволяет дать другое доказательство теоремы Шура.
