Геометрия на плоскости и в пространстве.

С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.

Теорема 7.14 Кронекера-Капели.

Система совместна тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Очевидно.

В качестве примера определим взаимное расположение двух линейных многообразий: и (предполагается линейная независимость систем векторов и ). Рассмотрим две системы линейных уравнений и . Положим и .

Совместность первой системы означает, что у линейных многообразий есть общая точка. Равенство рангов является необходимым и достаточным условием совместности первой системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капели). Размерность пространства решений второй системы позволяет определить размерность пересечения линейных оболочек и по формуле . Этой информации достаточно для описания взаимного расположения линейных многообразий. В качестве примера приведём в таблицах все случаи взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

Две прямые (k=s=1)

Прямая и плоскость (k=1, s=2)

Две плоскости (k=s=2)

Геометрия на плоскости и в пространстве.

Целью данного раздела состоит в рассмотрении таких геометрических понятий как расстояние, площадь, объём с последующим обобщением этих понятий и их переносом на произвольные линейные пространства.