Двумерная случайная величина.

Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара случайных величин .

Каждое значение двумерной случайной величины Z это упорядоченная пара чисел x и y. Вероятность этого значения это вероятность совместного наступления событий:

Пусть двумерная случайная величина Z принимает только дискретные значения, т.е. обе случайные величины x и y являются дискретными. Тогда каждое значение случайной величины Z определяется парой и характеризуется совместной вероятностью .

Закон распределения дискретной двумерной величины можно записать в виде таблицы, которая называется корреляционной таблицей и содержит значения случайных величин X и Y и их совместные вероятности.

таблица 1.

				...		...
...
...

В нижней строчке таблицы стоят полные вероятности для каждого из значений Х.

(1)

В крайнем правом столбце таблицы стоят полные вероятности для каждого из значений Y.

(2)

Из каждой из составленной случайной величины можно составить отдельный закон распределения.

таблица 2.

		...

таблица 3.

		...

Для случайных величин X и Y по таблице 2 и 3 можно вычислить M и D по обычным формулам.

Пример № 1.

Пусть двумерная случайная величина Z (X; Y) задана корреляционной таблицей. Найти:

1) вероятность того, что P (Z), где Z (10;200)

2) M(X), D(X), σ(X)

M(Y), D(Y), σ(Y)

	0,1	0,2	0,1	0,4
	0,3	0,1	0,2	0,6
	0,4	0,3	0,3

1) Р (10;200)=0,3

2)

	0,4	0,3	0,5

	0,4	0,6

Для двумерной случайной величины вводят понятие условного распределения. Фиксируем какое-либо значение одной из случайных величин и находим условную вероятность для другой случайной величины.

(3) , где

- условная вероятность того, что при условии, что Y принимает значения i и j;

- совместная вероятность того, что , , т.е.

- полная вероятность того, что Y приняло значение , т.е.

(3)

Аналогично можно определить условную вероятность того, что Y принимает значение при фиксированном значении Х.

(4)

Пример № 1 (продолжение):

1) вычислить условную вероятность, что х = 30 при y = 100;

2) составить условное распределение для х при y = 200;

3) найти условную вероятность, что y = 100 при х = 20;

4) составить условное распределение для y при х = 10;

1)

2) y = 200

3)

4) x = 10