Описанный процесс решения ЗЛП симплекс-методом довольно трудоемкий и требует выполнения однообразных преобразований. Причем с возрастанием числа неизвестных растет и число шагов.
Оказывается, эти преобразования можно записать в виде последовательности однотипно заполненных таблиц, называемых симплекс-таблицами.
Изложим способ составления и преобразования таких таблиц на примерах первой и второй основных задач .
I. Первая основная задача.
Для заполнения первой симплекс-таблицы необходимо переписать целевую функцию F и систему ограничений в виде:
Заполним таблицу
Базисные неизвестные
Свободные члены
F
–25
–34
В выражении для F выясняем, имеются ли в последней строке таблицы, кроме столбца «свободные члены», отрицательные числа. Если таковых нет, то задача решена. Если же есть, то выполняем преобразование: в столбце имеем (из двух отрицательных чисел –25 и –34 выбирают меньшее по модулю), над этим элементом ищем положительные числа. Если таковых нет, то задача не имеет решения. В нашем случае над –25 есть три положительных числа: 1; 1 и 1.
Найдем
Элемент, стоящий на пересечении строки ( ) и столбца ( ), называем разрешающим. В нашем случае он равен 1. (Если разрешающий элемент равен числу , то всю строку делят на разрешающий элемент m, чтобы получить 1). Неизвестная вводится в базис, а неизвестная выводится из него.
Заполняем вторую симплекс-таблицу. Строка ( ) из первой таблицы становится в ней строкой ( ). Далее преобразуем строки ( ), ( ) и (F) первой таблицы так, чтобы их элементы, стоящие в столбце ( ), обратились в 0. С этой целью
1) вычтем элементы строки ( ) из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;
2) вычтем элементы строки ( ) из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;
3) умножим элементы строки ( ) на 25, сложим с соответствующими элементами строки (F), и запишем полученные результаты в строку (F) второй таблицы.
В результате получим следующую симплекс-таблицу
Базисные неизвестные
Свободные члены
–1
–1
F
–9
В строке (F) есть отрицательное число –9. Поэтому продолжим поиск оптимального решения. Над –9 есть три положительных числа: 1; 1 и 3.
Найдем
Элемент, стоящий на пересечении строки ( ) и столбца ( ) разрешающий и равен 1. Неизвестная вводится в базис, а неизвестная выводится из него.
Заполняем третью симплекс-таблицу. Строка ( ) из второй таблицы становится в ней строкой ( ). Далее преобразуем строки ( ), ( ) и (F) второй таблицы так, чтобы их элементы, стоящие в столбце ( ), обратились в 0. С этой целью
1) вычтем элементы строки ( ) из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) третьей таблицы;
2) умножим элементы строки ( ) на 3, вычтем из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) третьей таблицы;
3) умножим элементы строки ( ) на 9, сложим с соответствующими элементами строки (F), и запишем полученные результаты в строку (F) третьей таблицы.
В результате получим следующую симплекс-таблицу
Базисные неизвестные
Свободные члены
–1
–1
–3
F
В строке (F) нет отрицательных чисел. Получили оптимальное решение:
при , , , .
Замечание. Симплекс-таблицы удобнее «пристыковывать» друг к другу по вертикали, что позволяет не писать многократно заглавную строку
II. Вторая основная задача.
Для заполнения первой симплекс-таблицы перепишем целевую функцию F и систему ограничений (6.14), имеющую допустимый вид, следующим образом:
Заполним таблицу
Базисные неизвестные
Свободные члены
–1
–3
–8
F
–16
1,125
–0,375
0,125
2,625
0,125
–0,375
3,625
–2,875
0,625
F
–5
–1
В выражении для F выясняем, имеются ли в последней строке таблицы, кроме столбца «свободные члены», положительные числа. Если таковых нет, то задача решена. Если же есть, то выполняем преобразование: в столбце имеем . Над этим элементом ищем положительные числа. Если таковых нет, то задача не имеет решения. В нашем случае над 40 есть три положительных числа: 3; 8 и 23.
Найдем
Элемент, стоящий на пересечении строки ( ) и столбца ( ) разрешающий и равен 8. Неизвестная вводится в базис, а неизвестная выводится из него. Все элементы строки ( ) разделим на разрешающий элемент. Полученные результаты запишем в новую симплекс-таблицу в строке ( ).
Преобразуем строки ( ), ( ) и (F) первой таблицы так, чтобы их элементы, стоящие в столбце ( ), обратились в 0. С этой целью
1) умножим элементы строки ( ) на 3, вычтем из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;
2) умножим элементы строки ( ) на 23, вычтем из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;
3) умножим элементы строки ( ) на 40, вычтем из соответствующих элементов строки (F), и запишем полученные результаты в строку (F) второй таблицы.
В строке (F) нет положительных чисел. Получили оптимальное решение:
при , , , .
Замечание. Первая симплекс-таблица второй основной задачи была заполнена с учетом того, что система ограничений (6.11) была предварительно сведена к допустимому виду (6.14), т.е. был найден допустимый базис. Зачастую поиск такого базиса довольно затруднителен. Рассмотрим следующий метод нахождения допустимого базиса, который называют методом искусственного базиса или М-методом.
(из двух отрицательных чисел –25 и –34 выбирают меньшее по модулю), над этим элементом ищем положительные числа. Если таковых нет, то задача не имеет решения. В нашем случае над –25 есть три положительных числа: 1; 1 и 1.
, то всю строку делят на разрешающий элемент m, чтобы получить 1). Неизвестная 
, 
, 
, 
.
. Над этим элементом ищем положительные числа. Если таковых нет, то задача не имеет решения. В нашем случае над 40 есть три положительных числа: 3; 8 и 23.
, 
, 
.