Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

I. Линейное однородноедифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

(11)

где p и q -действительные числа.

Чтобы решить данное уравнение, надо составить и решить характеристическое уравнение

(12)

Если корни характеристического уравнения действительны и различны, , то общее решение уравнения (11) выражается формулой

(13)

Если же корни действительны и одинаковы , то общее решение имеет вид

(14)

Наконец, в случае комплексных корней общее решение имеет вид

(15)

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение

Так как корни квадратного уравнения являются действительными и разными, общее решение имеет вид

Пример 9. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее заданным условиям

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение имеет вид

Для нахождения частного решения продифференцируем y.

Подставив выражения для y и y¢ в начальные условия, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно С ₁ и С₂ .

Решив ее, найдем

Пример 10. Напряжение в электрической цепи во время переходного процесса описывается уравнением

где r, L, C - постоянные величины, характеризующие сопротивление, индуктивность и емкость цепи. Найти функцию U(t), если

Решение. Характеристическое уравнение

имеет комплексные корни ( ), где В общем случае решение имеет вид

Преобразуем его, приняв и . Тогда

Отсюда

Последняя формула описывает затухающие синусоидальные колебания с частотой и амплитудой , уменьшающейся с течением времени.

II. Общее решение линейного неоднородногоуравнения с постоянными коэффициентами

равно сумме общего решения y_0.0. соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения y_ч.н.

y₌y_0.0.+ y_ч.н.

_.

Если правая часть уравнения состоит из сумм и произведений функций частное решение можно искать методом подбора или методом неопределенных коэффициентов. Для перечисленных функций частное решение неоднородного уравнения имеет сходный с правой частью уравнения вид ( см. таблицу 1).

Таблица 1.

Структура частного решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

в зависимости от вида правой части уравнения

Вид правой части уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	a=0, b=0, a+ib=0, k¹0     k=0	yч.н.= yч.н=
	b=0, a+ib=a, k1¹a и k2¹a   a= k1 или a= k2   k1=k2=a	yч.н.   yч.н.   yч.н.
	a=0, a+ib= ib, k1¹ ib и k2¹ ib   k1= ib или k2=ib	yч.н.     yч.н.=
где Рn(x) -многочлен n-ой степени, Lm(x)- многочлен m-ой степени от x	и   или	yч.н.= где l- наибольшее из чисел m и n, yч.н.=
		yч.н где yi - частное решение уравнения с той же левой частью и правой частью, равной fi(x) (i=1,2,...n).

Неопределенные коэффициенты А₀,А₁,...,А_m,А,В, ...определяют следующим образом: находят производные и подставляют y_ч.н. y¢_ч.н., и y¢¢_ч.н. в левую часть уравнения. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной и синусах и косинусах в левой и правой частях дифференциального уравнения, составляют систему алгебраических уравнений для нахождения значений неопределенных коэффициентов.

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее однородное уравнение -

Его характеристическое уравнение имеет корни k₁=4, k₂=-1.

Отсюда

Теперь найдем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть не содержит множителей полагаем равными нулю ( ). Тогда a+ib=0, 0 не является корнем характеристического уравнения. Правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени (хотя и неполный), поэтому решение будем искать в виде

y_ч.н.=А₂x²+A₁x+A₀.

Находим производные и подставляем в данное уравнение:

y¢_ч.н.=2А₂x+A₁.

y¢¢_ч.н.=2А_2,

Чтобы последнее равенство стало тождеством, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x.

Решив систему, найдем

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения

y_ч.н.

а общее решение имеет вид