Основы мехатроники и робототехники

Графический метод.

Несмотря на то, что графический метод решения задач линейного программирования применяется только для задач с двумя искомыми переменными (или в случае трехмерного пространства с тремя), этот метод позволяет понять основную суть линейного программирования.

Задача 1.

Рассмотрим систему неравенств

(1)

и линейную форму

(2)

Найти минимум и максимум линейной формы (2) из области решений системы (1).

Решение.

Построим выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств (1). Для этого построим прямоугольную систему координат х₁ох₂. Если в этой системе координат построить прямую ах₁+bх₂=с, то эта прямая разбивает плоскость х₁ох₂ на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости удовлетворяют неравенству ах₁+вх₂≤с, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах₁+вх₂≥с. Построим в плоскости х₁ох₂ граничные прямые:

1) 4)

2) 5)

3)

В результате получим пятиугольник АВСDЕ (рис. 2)

Значения х₁ и х₂ , удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения х₁ и х₂ при которых линейная форма L (2) имеет минимум, и те значения х₁ и х₂ при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 2 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т.е. все значения х₁ и х₂ больше или равны нулю.

Для каждой точки плоскости х₁ох₂ линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает фиксированное значение L₁ , есть прямая , которая перпендикулярна вектору . Если прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора , то линейная форма L будет возрастать, а в противоположном направлении – убывать. Построим прямую для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую . Как видно из рис. 2, при передвижении прямой в положительном направлении вектора она впервые встречается с вершиной А(0;2) построенного пятиугольника АВСDЕ. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно,

.

При дальнейшем передвижении прямой параллельно самой себе в положительном направлении вектора значение линейной формы будет возрастать, и оно достигает максимального значения в точке С(8;6). Таким образом,

.

Задача 2.

Туристской фирме требуется не более 10 автобусов грузоподъёмностью 3 тонны и не более 8 автобусов грузоподъёмностью 5 тонн. Цена автобуса первой марки 20000 у.е., цена автобуса второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более 400000 у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной.

Решение.

Пусть приобретено х₁ трёхтонных, х₂ пятитонных автобусов, тогда заданные условия задачи можно записать так:

или (1)

Линейная форма L (часто её называют целевой функцией) применительно к условиям нашей задачи имеет вид:

(2)

Требуется найти те значения х₁ и х₂, при которых L достигает максимального значения. По условию задачи . Решим задачу графическим методом, который был использован при решении задачи 1. Построим многоугольник АВСDЕ (рис. 3), все точки которого удовлетворяют системе неравенств.

(3)

Затем построим вектор и прямую . Перемещая прямую параллельно самой себе в положительном направлении вектора , установим, что L достигает максимального значения в точке С, для которой х₁ = 10 и х₂ = 5. Следовательно, туристской фирме следует приобрести 10 трёхтонных и 5 пятитонных автобусов. В этом случае общая грузоподъёмность составит 55 тонн. ( )

Задачи для расчетной работы №3

В задачах 1-10 построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств и, пользуясь графическим методом, найти минимум и максимум линейной формы .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задачи 11-20. Туристской фирме требуется не более а трехтонных автобусов и не более в пятитонных автобусов. Отпускная цена автобусов первой марки 20000 у.е., второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более с у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной. Решить задачу графическим методом.

11. а = 11 в = 9 с = 460000

12. а = 12 в = 10 с = 520000

13. а = 13 в = 11 с = 580000

14. а = 14 в = 12 с = 640000

15. а = 15 в = 13 с = 700000

16. а = 16 в = 14 с = 760000

17. а = 17 в = 15 с = 820000

18. а = 18 в = 16 с = 880000

19. а = 19 в = 17 с = 940000

20. а = 20 в = 18 с = 1000000

Основы мехатроники и робототехники

Методические указания по выполнению лабораторных работ

Иркутск

ВВЕДЕНИЕ

Перечень и тематика лабораторных работ по курсу «Компьютерное управление мехатронными системами»:

1. Устроейство модулей промышленного робота МРЛУ-200-901;

2. Устроейство механизмов вращательного и поступательного движения промышленного робта

МП-9С;

3. Определение инерциальных характеристик звеньев манипуляционного механизма;

4. Устройство модулей промышленного робота «Электроника НЦ ТМ-01»

5. Устройство промышленного робота М20П.40.01;

Задания на каждую лабораторную работу приведены в описании лабораторных работ. После выполнения лабораторной работы необходимо оформить отчет согласно СТО ИрГТУ.005-2007 «Учебно-методическая деятельность. Общие требования к оформлению текстовых и графических работ студентов». Его можно оформить в электронном виде с помощью приложений Microsoft Word, Microsoft Excel. При программировании необходимо использовать язык С++. В отчет следует включить:

1) титульный лист. Все листы отчета необходимо пронумеровать, на титульном листе номер не ставится;

2) тему и цель лабораторной работы;

3) постановку задачи;

4) текст программы;

5) результаты работы программы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА – 1