Формула Литтла.

Задача Эрланга.

Схема гибели и размножения, формула Литтла.

ДОПЕЧАТАТЬ

Для решения этой системы необходимо воспользоваться нормировочным условием Po+P1+P2+P3=1.

Граф состояний для схемы гибели и размножения

Запишем уравнение финальных вероятностей по уравнению Колмагорова.

См. блокнот

Аналогично для состояния S2:

См. блокнот

Из уравнения для состояния So выразим P1 через Po.

См блокнот

Тогда с учетом данного выражения для вероятности P2 получаем

См. блокнот

С учетом (6) для P3 получаем:

См. блокнот

Таким образом для любого к от 1 до n

См. блокнот

Подставив эти выражения в нормировочное условие (сумма всех вероятностей =1), получим, вынеся Po за скобки:

См. блокнот

Данная формула связывает среднее число заявок Lсист, находящееся в системе массового обслуживания, и среднее время пребывания заявки в системе Wсист.

Рассмотрим любую систему массового обслуживания и связанные с ней два потока событий.

Х(t) – Число заявок, прибывших в систему массового обслуживания до момента t

Y(t) – Число заявок, покинувших систему до момента t.

См. блокнот

Очевидно, что для любого момента t разность Z(t) =x(t)-y(t) есть ничто иное как число заявок, находящихся в системе массового обслуживания.

X(t) и Y(t) являются случайными функциями и меняются скачком (увеличивается на единицу в моменты приходов и ухода заявок, когда линии X(t) и Y(t) сливаются, в системе заявок нет).

Рассмотрим очень большой промежуток времени t и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в системе массового обслуживания. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленную на длину интервала T.

См блокнот

Интеграл представляет собой ничто иное как площадь фигуры заштрихованной на рисунке, состоящей из прямоугольников высотой, равной единице, и основание ti, поэтому можно считать, что :

См блокнот

Где сумма распространяется на все заявки пришедшие за время T.

Разделим и умножим правую часть интеграла (7) на интенсивность l. Получим

См блокнот

Величина Т умноженная на l, есть ничто иное как среднее число заявок, пришедшее за время Т, если мы разделим сумму всех времен ti на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wcист:

Блокнот

Откуда

Блокнот – это формула Литтла

Для любой системы массового обслуживания при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания, среднее время пребывания

заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.