Определение. Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда предикат f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.
Определение. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения или его решением.
Решить уравнение – это значит найти множество его корней.
Пример. 1) 7х + 5 = 3х + 13, х ÎR. Это уравнение обращается в истинное равенство при х = 2, следовательно, множество его решений есть {2}.
2) (х – 3)(х + 3) = 0 – множество решений есть {–3; 3}.
Т.к. уравнение есть предикат, то с каждым уравнением связаны два множества:
1) множество Х допустимых значений переменной (множество определения предиката),
2) множество Т корней уравнений (множество истинности предиката).
Заметим, что Т Ì Х.
Определение. Пусть на множестве Х заданы два уравнения f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) и известно, что Т1 – множество решений первого уравнения (Т1Ì Х), Т2 – множество решений второго уравнения (Т2Ì Х). Если Т1 = Т2, то эти уравнения называются равносильными на множестве Х.
Другими словами: два уравнения называются равносильными на множестве Х, если множества решений этих уравнений, принадлежащих множеству Х, совпадают.
Пример. 1) 3х + 5 = 4х + 3 и 2х + 3 = 7 равносильны на множестве N, т.к. Т1 = {2}, Т2 = {2}, Т1 = Т2.
2) (х – 2)2 = 3(х – 2) и (х – 2) = 3 не являются равносильными, т.к. Т1 = {2; 5}, Т2 = {5}, Т1 ¹ Т2.
Определение. Если множество решений уравнения f1(x) = g1(x) (1) является подмножеством множества решений уравнения f2(x) = g2(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
Другими словами: уравнение (2) есть следствие уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).
Пример. (х + 2)2 = 25 является следствием уравнения х + 2 = 5, т.к. уравнение х + 2 = 5 имеет только один корень 3, подставляя который в уравнение (х + 2)2 = 25, получаем истинное равенство (3 + 2)2 = 25, показывающее, что 3 удовлетворяет уравнению (х + 2)2 = 25.
Два уравнения равносильны в том и только том случае, когда каждое из них является следствием другого.
Теоремы о равносильности уравнений
Теорема 1. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) + h(х) = g(x) + h(х) (2) равносильны.
Другими словами: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве Х, получим новое уравнение, равносильное данному.
При решении уравнений чаще используются следствия из теоремы.
Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Следствие 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) ∙ h(х) = g(x) ∙ h(х) (2) равносильны на множестве Х.
Другими словами: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращающееся на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х, f(x) ³ 0, g(x) ³ 0 на множестве Х и п – четное натуральное число. Тогда уравнения f(x) = g(x) и f п(x) = gп(x) равносильны.
Другими словами: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное данному при условии, что обе части уравнения неотрицательны.
Замечание. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение будет следствием исходного. Если п нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и f п(x) = gп(x) равносильны.
Пример. Равносильны ли уравнения?
1) (4х + 3) ∙ х = 11х и 4х + 3= 11. Нет, т.к. мы разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т1 = {0; 2}, Т2 = {2}.
2) (4х + 3)(х2 + 2) = 11(х2 + 2) и 4х + 3= 11 равносильны, т.к. х2 + 2 ¹ 0 ни при каких действительных х.
В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнения является взаимосвязь между компонентами и результатом действий.
Оглавление
Раздел 1. Общие понятия математики. 2
Глава 1. Высказывания. 2
§ 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания. 2
§ 2. Законы алгебры высказываний. 4
Глава 2. Элементы теории множеств. 6
§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество. 6
§ 2. Способы задания множеств. 6
§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств. 7
§ 4. Операции над множествами. 8
§ 5. Законы операций над множествами. 9
§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств. 10
§ 7. Понятие разбиения множества на классы.. 11
Глава 3. Соответствия. 13
§1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств. 13
§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий. 14
§ 3. Взаимно однозначное соответствие. 15
§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. 15
§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций. 16
§ 6. Виды функций. 18
§ 7. Обратная функция. 20
Глава 4. Отношения на множестве. 22
§ 1. Понятие отношения. Способы задания отношений. 22
§ 2. Свойства отношений. 23
§ 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы.. 25
§ 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества. 26
Глава 5. Предикаты и теоремы.. 27
§ 1. Предикаты и операции над ними. 27
§ 2. Высказывания с кванторами и их отрицания. 28
§ 3. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие. 29
§ 4. Строение и виды теорем.. 30
Глава 6. Математические понятия. 32
§ 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. 32
§ 2. Определение понятия. Требования к определению понятия. 33
, но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т1 = {0; 2}, Т2 = {2}.