Способы математического доказательства

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.

Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

Доказательства различают прямые и косвенные.

Прямые доказательства.

1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению.

Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно,
Ð 1 + Ð 2 = 180^о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно, Ð 2 + Ð 3 = 180^о. Имеем: Ð 1 = 180^о – Ð 2 Ð 3 = 180^о – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2

1 3

2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.)

3) Полная индукция (смотри ранее).

Косвенные доказательства.

1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А Þ В. Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Дано: хúú с, уúú с. Доказать, что х úú у.

Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у, т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А. Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с, что невозможно по аксиоме параллельности.

2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А Þ В доказывают равносильную ей теорему . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.

Пример. Если х² – четное число, то х – четное число.

Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1 Þ х² = (2k + 1)² =
= 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 – нечетное.

Контрольные вопросы

1. Что называется умозаключением?

2. Какое умозаключение называется дедуктивным?

3. Дайте определения неполной и полной индукции.

4. Дайте определение умозаключения по аналогии.

5. Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил.

6. Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений?

7. Какое умозаключение называется софизмом?

8. Что значит доказать утверждение?

9. Какие доказательства различают по способу ведения?

10. Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства.