Если задан предикат, то, чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в предикат, подставить ее значение.
Например, если на множестве натуральных чисел задан предикат А(х): «х – четное число», то подставив вместо переменной число 4, получим истинное высказывание «4 – четное число», а, подставив вместо переменной число 5, получим ложное высказывание «5 – четное число».
Существуют и другие способы получения высказывания из предиката. Подставим перед этим предикатом слово «всякое», получим ложное предложение «Всякое натуральное число – четное». Если же перед предикатом подставим слово «некоторые», то получим истинное высказывание «Некоторые натуральные числа – четные».
Выражение «для всякого х» в логике называют квантором общности, обозначают " х. В математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «все», «каждый», «любой».
Высказывание (" х Î Х) А (х) выражает свойства всех объектов множества Х.
Выражение «для некоторых х» ( «существует х, такое, что …», «хотя бы один», «найдется») называют квантором существования и обозначают $ х.
Высказывание ($ х Î Х) А (х) выражает существование объектов из данного множества, обладающих определенными свойствами или находящимися в определенном отношении с другими объектами.
Таким образом, чтобы превратить предикат в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащиеся в нем переменные. Х.
Выясним, как установить значение истинности высказываний, содержащих кванторы.
Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Нужно убедиться в том, что при подстановке каждого из значений х в предикат последний обращается в истинное высказывание. Если множество Х конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же Х бесконечно, то необходимо провести рассуждение в общем виде. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно привести контрпример.
Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.
Выясним, как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы. Рассмотрим высказывание: «все натуральные числа – четные». Оно ложно. В этом легко убедиться, приведя контрпример: 5 не является четным числом. Можно перед данным предложением поставить слова «неверно, что». Тогда отрицанием высказывания: «все натуральные числа – четные» будет высказывание «неверно, что все натуральные числа – четные». Оно имеет тот же смысл, что и предложение «некоторые натуральные числа четными не являются».
Вообще если дано предложение (" х) А (х), то его отрицанием будут предложения и ($ х) , имеющие один и тот же смысл.
Рассмотрим высказывание «некоторые однозначные числа делятся на 10». Оно ложно. Отрицанием данного высказывания будет высказывание «неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10», которое имеет тот же смысл, что и высказывание «все однозначные числа делятся на 10».
Вообще если дано предложение ($ х) А (х), то его отрицанием будут предложения и (" х) , также имеющие один и тот же смысл.
Правило: для того чтобы построить отрицание высказывания с квантором общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.
Контрольные вопросы
1. Как можно предикат превратить в высказывание?
2. Приведите примеры слов, которые используются в качестве кванторов общности и существования.
3. Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы?
4. Как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы?
§ 5. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х): «число х кратно 9» следует предикат В(х): «число х кратно 3», т.к. мы знаем, что при всех значениях х, при которых истинно утверждение «число х кратно 9» будет и истинно утверждение «число х кратно 3».
Определение. Предикат В (х) следует из предиката А (х), если В (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых истинен предикат А (х).
В этом случае говорят, что данные предложении находятся в отношении логического следования и обозначают: А (х) Þ В (х).
Выясним в каком отношении находятся области истинности предикатов А (х) и В (х). ТА = {9; 18; 27; …}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …}. Видим, что ТАÌ ТВ.
Таким образом, А (х) Þ В (х) Û ТАÌ ТВ.
Если А (х) Þ В (х), то предикат В (х) называют необходимым условием для А (х), а предикат А (х) – достаточным условием для В (х).
Так, утверждение о том, что если число кратно 9, то оно кратно 3, можно сформулировать так: «кратность числа 9 является достаточным условием кратности числа 3» или «кратность числа 3 является необходимым условием его кратности 9».
Как и любое высказывание, предложение А (х) Þ В (х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А (х) есть В (х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а то, что оно ложно – с помощью контрпримера.
Рассмотрим два предиката: А (х): «число оканчивается нулем» и В (х): «число делится на 10». Из школьного курса математики известно, что если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Верно и обратное. В этом случае говорят, что предложения А (х) и В (х) равносильны.
Определение. Предикаты А (х) и В (х) равносильны, если из предиката А (х) следует предикат В (х), а из предиката В (х) следует предикат.
Для обозначения отношения равносильности используется знак Û.
Высказывание А (х) Û В (х) можно прочитать так: А (х) равносильно В (х), А (х) тогда и только тогда, когда В (х), А (х) необходимое и достаточное условие для В (х), В (х) необходимое и достаточное условие для А (х).
Заметим, что А (х) Û В (х) тогда и только тогда, когда ТА= ТВ.
Контрольные вопросы
1. Что значит предикат В (х) следует из предиката А (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов?
2. В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предиката В (х), достаточным условием для В (х)?
3. В каком случае предикаты А (х) и В (х) будут равносильны?
и ($ х) 
, имеющие один и тот же смысл.
и (" х)