Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств

Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий
элемент 3.

На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:

А В

Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов.

Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются.

Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:

А В

Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В.

Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В Ì А).

Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества.

Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А₁ = {1}, А₂ = {2}, А₃ = {3}, А₄ = {1, 2}, А₅ = {1, 3}, А₆ = {2, 3} и два несобственных подмножества А₇ = {1, 2, 3} и А₈ = Æ.

Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2^п различных подмножеств.

Если В Ì А и А Ì В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В.

Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I).

Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике.

Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна.