В предыдущем разделе величина эластичности спроса по цене определялась для каждого значения цены, т. е. для каждой точки кривой спроса. Это - точечная эластичность. Но часто нужно знать эластичность на некотором участке кривой, соответствующем переходу от одного состояния к другому (от точки М1 к точке M2 на рис. 5). Здесь видна аналогия с простой задачей из механики: скорость тела (мгновенная) есть производная от пройденного пути по времени; в то же время часто представляет интерес скорость (средняя), соответствующая определенному участку пути или промежутку времени.
Например, если автомобиль за 2 часа прошел 100 км, то его средняя скорость равна 100/2 = 50 км/ч.
Рис. 5. К определению дуговой эластичности.
Интерес к интервальным характеристикам может быть связан с двумя обстоятельствами.
Во-первых, нас может интересовать участок кривой от текущего состояния до ожидаемого (планируемого, прогнозируемого). Во-вторых, определение точечной эластичности из предыдущего раздела использует операцию дифференцирования. Это обстоятельство не вызвало бы затруднения, если бы мы располагали аналитическим описанием функции спроса. Но наблюдение над реальным процессом не дает аналитического выражения, оно может дать лишь значения интересующих нас величин в отдельных точках.
Действуя по аналогии с механической задачей, мы могли бы определить эластичность спроса на участке кривой как частное от деления относительного изменения объема спроса на относительное изменение цены:
, (6)
Но аналогия с автомобилем оказывается неполной:
приращения ΔР = Р2 - Р1 и ΔQ = Q2 - Q1 и в нашем случае определяются начальным и конечным состояниями, но какие абсолютные уровни Р и Q следует использовать в формуле (6)? В принципе это могли бы быть и начальные (Р1, Q1), и конечные (Р2, Q2 ) значения. Оба варианта, очевидно, дадут различные результаты. В качестве компромиссных обычно выбирают средние значения обеих переменных:
,
что в результате дает выражение эластичности:
, (7)
Эластичность спроса, определяемая равенством (7), характеризует некоторую среднюю реакцию спроса на изменение цены на участке М1М2 и называется дуговой эластичностью.
Существует и другой подход к определению сред ней эластичности на участке кривой спроса, также аналогичный рассмотренной выше механической задаче, но в ином отношении. Средняя скорость - это скорость тела, движущегося равномерно (т. е. с постоянной скоростью) в течение того же времени, что и реальное тело, и проходящего за это время такой же путь. Подобно этому, мы можем рассмотреть кривую постоянной эластичности, проходящую через начальную и конечную точки рассматриваемой дуги, и в качестве характеристики дуги использовать эластичность этой кривой.
Функция с постоянной эластичностью - это степенная функция вида Q = APE (см. МП, II, формула (5)). У этой функции два параметра, и для ее однозначного определения достаточно располагать значениями переменных в двух точках:
,
Почленно разделив второе из этих равенств на первое, получим:
, (1)
откуда:
, (8)
Выбор основания логарифмов здесь не играет роли. Формулы (7) и (8) дают не одинаковые, но довольно близкие результаты, даже если точки М1 и М2 не очень близки друг к другу.
Рассмотрим числовой пример:
Р1 = 10. Q1 = 50,
Р2 =5, Q2 = 70.
Используя формулу (7), получим:
,
а формулу (8):
,
Расхождение между этими результатами достаточно мало по сравнению с погрешностями, допустимыми в такого рода расчетах; обычные ошибки в исходных данных приводят к гораздо большим неточностям.
Второй из рассмотренных нами подходов может быть преобразован для случая, когда имеются не две, а большее число точек на кривой спроса. Пример таких данных приведен в табл. 3.
Таблица 3. Пять точек на кривой спроса
Точка
Цена
Объем спроса
Если число точек больше двух, мы не можем рассчитывать на то, что найдется кривая постоянной эластичности, проходящая через все эти точки. Вместо этого ищем кривую постоянной эластичности, ближайшую ко всей совокупности заданных точек.
Существуют вычислительные методы, позволяющие успешно решать такие задачи; мы их здесь рассматривать не будем. Укажем лишь метод, позволяющий приближенно решить такую задачу на глаз.
Для степенной функции Q = APE справедливо равенство:
log Q = а + E·log P,
где а = log A.
Иными словами, логарифмы Р и Q связаны линейной зависимостью. Поэтому, отложив по осям координат не сами наблюдавшиеся величины Р и Q, а их логарифмы, мы сведем задачу к нахождению прямой, наименее удаленной от заданных точек. А здесь уже возможны глазомерные прикидки. Угловой коэффициент этой прямой равен искомой эластичности. Такие построения удобнее всего выполнять на специальной логарифмической бумаге, разграфленной и отградуированной таким образом, что координаты точек пропорциональны логарифмам отмеченных на осях чисел. На рис. 6,б исходные данные представлены в логарифмических масштабах. Точки располагаются близко к некоторой прямой, что свидетельствует о том, что эластичность спроса во всем диапазоне представленных значений более или менее постоянна. В противном случае следовало бы разбить кривую на несколько участков и определять эластичность для каждого из участков в отдельности.
На рис. 6,а представлены те же данные в обычных (линейных) масштабах; там же нанесена ближайшая к ним кривая постоянной эластичности, рассчитанная точными методами. Ее уравнение Q = 747.8·P1.868, так что эластичность оценивается величиной Е = -1.868. То обстоятельство, что кривая не проходит точно через заданные точки, оказывается полезным: таким образом сглаживаются шероховатости, обусловленные погрешностями данных, и лучше выявляются закономерности изучаемого явления.
, (6)
,
, (7)
,
, (1)
, (8)
,
,