Дифракционные измерения.

На долгосрочном интервале планирования функция издержек производства является решением задачи

при ограничении

С математической точки зрения эта задача полностью аналогична задаче минимизации затрат потребителя, рассмотренной в разделе 3. Графическая интерпретация решения показана на рис. 7.7.

Ограничение на графике изображается изоквантой. Для изображения целевой функции построим серию изокост – линий, показывающих все возможные сочетания труда и капитала, имеющих одинаковую стоимость.

Уравнение изокосты имеет вид:

Оптимальный объем факторов производства соответствует точке касания изокванты и изокосты.

Следовательно, наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты = .

Чтобы заполнить многоточие в вышеприведенной формуле, воспользуемся формулой приращения объемов производства.

Вдоль изокванты следовательно

Таким образом, получаем:

или в эквимаржинальной форме

Формула интерпретируется следующим образом. Предположим, Тогда одна гривна, вложенная в труд, приносит предприятию большую отдачу, чем та же гривна, инвестированная в капитал. Предприятию следует прераспределить свой бюджет, увеличив ассигнования на труд и уменьшив – на капитал. В результате на предприятии станет больше труда и меньше капитала. Предельный продукт труда уменьшится, капитала – возрастет, а дисбаланс между двумя частями неравенства сократится. Процесс перераспределения бюджета между трудом и капиталом следует продолжать до тех пор, пока одна гривна, инвестированная в любой из факторов производства, не будет приносить одинаковую отдачу.

Для получения оптимального распределения ресурсов между трудом и капиталом (т.е. для определения спроса на факторы производства) условие следует дополнить ограничением –

Продолжим начатый выше

Пример. . Для КИП мы получили выше

[1]

Теперь воспользуемся соотношением :

Подставим в производственную функцию:

Заметим, что на КИП предельные издержки возрастают с ростом объема выпуска продукции, а график средних издержек представляет собой U-образную кривую:

Однако на ДИП средние и предельные издержки не зависят от объема выпуска и равны между собой:

Это объясняется тем, что функция Кобба-Дугласа обладает постоянным эффектом масштаба. В самом деле,

Действительно, в случае постоянного масштаба производства увеличения объема производства в два раза потребует двухкратного увеличения потребления труда и капитала. Поэтому полные издержки производства также возрастут в два раза, а издержки в расчете на единицу продукции останутся неизменными. В случае положительного эффекта масштаба удвоение потребляемых ресурсов более чем удвоит объем выпуска продукции, следовательно себестоимость единицы продукции будет падать с ростом объема производства. Строгое доказательство этих утверждений оставляется читателю в качестве упражнения.

Задание для самостоятельной работы. Доказать, что:

- если производственная функция обладает постоянным эффектом масштаба, то предельные издержки на ДИП будут постоянными;

- если производственная функция обладает положительным эффектом масштаба, то предельные издержки на ДИП будут убывать с ростом объема выпуска;

- если производственная функция обладает отрицательным эффектом масштаба, то предельные издержки на ДИП будут возрастать с ростом объема выпуска.

Таким образом, характер средних издержек производства зависит от эффекта масштаба, присущего технологии производства.

При постоянном эффекте масштаба удвоение объема потребляемых ресурсов удваивает выпуск продукции вне зависимости от .

Изучим связь между краткосрочными и долгосрочными издержками производства на базе рассмотренного выше примера (рис. 7.8).

На рис. 7.8 изображены три функции издержек на КИП, соответствующие различным значениям капитала ( ). Заметим, что каждому возможному объему выпуска соответствует оптиальное значение капитала – то, которое соответствует минимальным полным издержкам. Таким образом, если бы предприятие было ограничено тремя возможными значениями капитала, его функция издержек на ДИП соответствовала бы нижней огибающей трех кривых краткосрочных издержек.

Рисунок 7.8 – Связь между краткосрочными и долгосрочными издержками

Если же предприятие вольно изменять масштаб капитала произвольным образом, мы и получим кривую долгосрочных издержек.

Аналитически, для заданного объема выпуска продукции мы можем найти оптимальное значение капитала исходя из функции краткосрочных издержек следующим образом:

Таким образом, функция долгосрочных издержек производства есть ни что иное, как одна из функций краткосрочных издержек производства, соответствующая объему капитала, оптимальному для данного объема выпуска продукции.

В заключение отметим, что для функции издержек производства на ДИП выполняется лемма Шепарда – производная от функции издержек производства по цене определенного фактора производства равна спросу на соответствующий фактор:

Доказательство полностью аналогично доказательству леммы Шепарда для теории спроса.

[1] Индекс SR от англ. short run – краткосрочный интервал. Аналогично LR – long run, долгосрочный интервал.

Дифракционные измерения.

Область применения.

Дифракционные измерения применяют при контроле оптических поверхностей и при исследовании качества оптических систем. Они обладают наглядностью и простотой реализации, однако обеспечивают невысокую точность измерений.

5.1. Контроль вогнутых сферических поверхностей по дифракционному изображению точки.

Методы основан на сравнении наблюдаемого дифракционного изображения точечной диафрагмы с ее теоретическим выводом.

Используется микроскоп с автоколлимационным окуляром.

Предметная плоскость микроскопа, в которой находится действительное изображение точечной диафрагмы, совмещается с центром кривизны вогнутой сферической поверхности (рис. 10.1.).

Если контролируемая поверхность имеет идеальною форму, то отраженные лучи точной диафрагмы будет иметь вид кружка Эри: резко очерченное, но гораздо менее яркое светлое кольцо. При хороших условиях наблюдается также второе и третье кольца.

Если поверхность имеет зональные погрешности, симметричные относительно оси, то это вызовет перераспределении энергии в дифракционных кольцах.

Астигматизм вызывает эллиптичность колец.

Контроль плоских поверхностей можно осуществить с помощью сферической вогнутой поверхности высокого качества и большой апертуры.