Метод математического моделирования по сравнению с физическим моделированием представляет более широкие возможности. Он является способом исследования различных объектов путем составления соответствующего математического описания и вычисления на его основе характеристик исследуемого объекта.
Существенной особенностью данного метода является необходимость построения математической модели. Она формализовано отражает процесс функционирования оригинала и описывает основные закономерности его поведения. При этом все второстепенные, несущественные факторы из рассмотрения исключаются.
Объектом математического моделирования являются сложные системы. Сложной системой называют определенным образом организованную и целенаправленную функционирующую совокупность большого числа информационно связанных и взаимодействующих элементов в условиях воздействия внешних факторов.
Математическое описание сложных систем
Можно выделить два типа задач, решаемых при проектировании сложных систем:
1. Задачи анализа системы - связаны с определением свойств, значений параметров и характеристик системы.
2. Задача синтеза - определение состава элементов, их структуры, взаимосвязей и т.д. с целью анализа альтернативных вариантов построения системы для выбора оптимального.
Оба класса задач решаются на основании математического описания сложных систем, которое представляет собой формализованное описание процесса функционирования системы во времени.
Построение математического описания сложной системы включает в себя следующие этапы:
1. Формулируется цель исследования.
2. Определяются параметры {X(t)}, характеризующие поведение системы.
3. Определяется перечень состояний системы {S(t)}, представляющих интерес, исходя из поставленной цели исследования.
4. Процесс функционирования системы представляет собой последовательную смену состояний системы во времени.
5. Для того, чтобы оценить результаты функционирования системы, применяются показатели качества функционирования (критерии эффективности) Э(t), характеризующие степень приспособленности системы для выполнения поставленных перед нею задач.
Методы математического моделирования
Методы математического моделирования подразделяются на две группы:
1. Аналитические
2. Имитационные.
Аналитические методы основываются на формализованном описании процесса функционирования объекта, когда записывается математические соотношения модели, которые затем решаются относительно искомых параметров.
Аналитические методы моделирования при исследовании сложных систем находит ограниченное применение. Это обусловлено тем, что построение математических моделей, имеющих аналитическое решение, всегда связано с большим числом упрощающих допущений. Причем, подтвердить достоверность этих допущений практически невозможно.
Поэтому при моделировании сложных систем большее применение находят численные методы имитационного моделирования.
Имитационное моделирование
Эти методы исследования заключаются в имитации на моделях процессов функционирования системы. Имитируются элементарные явления, составляющие исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, взаимодействия и взаимосвязей, а также последовательности протекания во времени.
Поскольку методы имитационного моделирования реализуются на ЭВМ, математическая модель системы должна быть преобразована в моделирующий алгоритм и программу, которая позволяет по фиксированным наборам исходных данных воспроизводить процесс функционирования системы, т.е. получить информацию о состоянии системы в определенные моменты времени и на ее основе вычислять характеристики качества функционирования системы.
1. Принцип “ D t “ Он позволяет в ходе имитационного моделирования определять состояния системы через фиксированные интервалы времени D t. Первоначально определяется состояние системы в начальный момент времени Z (tо ).
Затем, с использованием преобразованного в моделирующую программу математического описания системы, последовательно определяются состояния системы с шагом D t: Z (t0),Z (t0 + Dt), . . . . .,Z (t + iDt).
Принцип D t является наиболее универсальным способом построения моделирующих алгоритмов и используется во многих языках моделирования (например, GPSS).
Недостатки принципа D t: с точки зрения экономичности - если задается малый шаг D t движения во времени, то при этом увеличиваются затраты машинного времени; при большом шаге D t возможны ситуации, когда интересующие исследователя состояния могут быть пропущены.
2. Принцип изменения состояний.
При этом принципе моделируется траектория изменения состояний системы от одного состояния к следующему. В этом случае движение во времени осуществляется шагами переменной длины и за счет этого сокращаются затраты машинного времени.
3. Принцип последовательной проводки заявок.
Используется при моделировании систем массового обслуживания (СМО), когда последовательно, фаза за фазой, воспроизводится история прохождения заявкой СМО.
Характерные особенности имитационного моделирования на ЭВМ
1. Имитационное моделирование по своей сути является экспериментом, но не натурным, а на ЭВМ с помощью программ моделирования. И, как для любого эксперимента, необходимо использовать специальные методы планирования экспериментов.
2. Этот метод не накладывает ограничений (по сравнению с аналитическим методом) на область применения и перечень решаемых задач. Появляется возможность снять многие допущения, присущие аналитическим методам.
3. Поскольку большинство сложных систем функционирует в условиях воздействия внешней среды, поведение которой зачастую бывает случайным, то имитационное моделирование такого класса систем является по своей сути стохастическим экспериментом (т.е. с учетом влияния случайных факторов).
Метод имитационного моделирования с учетом воздействия случайных факторов называют статистическим моделированием.
Статистическое моделирование
Особенность метода заключается в том, что результаты, полученные с помощью имитационной модели, являются реализациями случайных событий, величин или процессов. Поэтому для нахождения характеристик качества функционирования системы требуется многократное воспроизведение имитационной модели с последующей статистической обработкой результатов. Как, следствие, реализация метода статистического моделирования связана с большими затратами машинного времени.
Понятие о вероятностном физическом моделировании
При вероятностном физическом моделировании строится физическая модель реального объекта, а процесс функционирования оригинала воспроизводится с помощью другого физического процесса, протекающего в масштабе времени, отличном от масштаба времени функционирования оригинала, но с сохранением взаимно однозначного соответствия между параметрами модели и оригинала.
В этом случае модель системы представляет собой некоторый физический макет (механический, электрический и т.д.), параметры которого могут изменяться принудительно. Поскольку при этом учитывается влияние случайных факторов, то метод называют вероятностное физическое моделирование.
Данный метод применяется для оценки параметрической надежности электронных устройств, надежности и качества функционирования направленных систем. Он позволяет значительно упростить процедуру моделирования по сравнению с решением подобных задач методом имитационного моделирования на ЭВМ.
Достоинства метода имитационного моделирования на ЭВМ
1. Универсальность метода. Может быть использован для решения широкого круга задач в различных предметных областях.
2. Позволяет решать задачи высокой степени сложности, когда аналитическое решение либо невозможно, либо слишком приближенно, либо связано с большими затратами.
3. Независимость от физической природы исследуемого процесса (или явления), его параметров.
4. Возможность анализа эффективности функционирования систем при различных альтернативных вариантах построения и выбора оптимального варианта структуры и параметров системы.
5. По сравнению с физическим моделированием, отсутствует необходимость создания физического макета системы.
Недостатки метода имитационного моделирования
1. Необходимость разработки и отладки сложных алгоритмов и программ и высокопроизводительных ЭВМ с большими ресурсами памяти.
2. По сравнению с прямыми аналитическими методами, решение как и при любом численном методе всегда носит частный характер. Поэтому для анализа эффективности функционирования системы приходится многократно воспроизводить процесс ее функционирования при различных наборах исходных данных. Это неизбежно связано со значительными затратами вычислительных ресурсов.
3. В случае статистического моделирования необходимо многократно воспроизводить процесс функционирования системы для анализа каждого варианта ее построения.
представляет собой последовательную смену состояний системы 
во времени.