Точные методы исследования нелинейных САУ

Критерий устойчивости Попова В.М.

(румынский ученый)

Это частотный метод исследования устойчивости НЛ САУ с однозначной нелинейностью, удовлетворяющей условию

.

Рассматривается устойчивость положения равновесия

Достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем сформулированы Поповым В.М.

1.Вводится передаточная функция

Предполагается, что соответствует асимптотически устойчивой системе (проверяется по любому из критериев устойчивости).

2.Находится частотная характеристика .

3.Строится видоизмененная частотная характеристика ,

которая определяется соотношением

Re =Re ,

Im =[Im ] .

4.На комплексной плоскости строится .

Критерий Попова:

Если через точку на действительной оси можно провести прямую линию так, чтобы видоизмененная АФЧХ лежала по одну сторону от этой прямой, то замкнутая НЛ САУ будет абсолютно устойчива.

Пример. Исследовать абсолютную устойчивость НЛ САУ со структурной схемой рис.1, если

Так как все в характеристическом уравнении 2-го порядка больше нуля, то - асимптотически устойчива и, следовательно, условие (1) критерия устойчивости Попова выполняется.

Re =Re =

Im = Im =

Строим АФЧХ .

Асимптотическая устойчивость для специального вида

нелинейных характеристик

1.Неоднозначная нелинейная характеристика

Состояние покоя будет абсолютно устойчивым, если

1. соответствует асимптотически устойчивой системе.

2.

2.Система с релейной характеристикой

r=0. Это частный случай рассмотренной выше характеристики.

Достаточное условие абсолютной устойчивости – вместо условия (2)

3.Нелинейность типа реле

1. - асимптотически устойчива.

2.Im

Абсолютная устойчивость процессов

Рассмотрим теперь устойчивость не систем стабилизации (номинальный режим – состояние покоя), а случай, когда номинальный режим характеризуется входным сигналом и выходным сигналом , которые являются ограниченными непрерывными функциями времени.

Будем предполагать, что нелинейный элемент имеет вид , где - непрерывная однозначная функция, удовлетворяющая условию

т.е. ограничена скорость изменения нелинейной характеристики. Это достаточно жесткое условие.

В этом случае для обеспечения абсолютной устойчивости ограниченного процесса , достаточно, чтобы выполнялись условия6

1. - было асимптотически устойчива.

2. .

В частном случае, когда r=0

или

или

Теория, связанная с развитием идей Попова еще не закончена, здесь возможны новые более сильные результаты. Сводка таких результатов на сегодняшний день имеется в книге Наумова «Нелинейные системы автоматического управления».