Устойчивость многомерных стационарных систем

Рассада земляники

Рассада земляники подразделяется на 2 категории:

1. Рассада, заготовленная с маточников, свободных от всех вирусов, вредителей и болезней.

2. Рассада, заготовленная с маточников, не тестированных на вирусы и не имеющих видимых симптомов заражения.

Рассада земляники подразделяется на 2 товарных сорта:

Внешний вид: рассада должна быть без механических повреждений, не увядшие, с хорошо развитой верхушечной почкой и мочковатой корневой системой.

Возраст рассады: 1 год.

Корневая система: длина не менее 7 см – 1 сорт; не менее 5 см – 2 сорт. Толщина рожка для 1-го сорта не менее 1 см, для 2-го – не менее 0,7 см.

Надземная часть: для осенней реализации число нормально развитых листьев: для 1-го сорта – не менее 2, для 2-го сорта – не мене 1.

Зараженность вредителями и пораженность болезнями (антракнозом, бактериальной угловатой пятнистостью, земляничным клещом, нематодами) не допускается.

Саженцы смородины

Саженцы смородины по фитосанитарному состоянию подразделяют на три категории:

1. Заготовленные с оздоровленных маточных насаждений (суперсуперэлитных, суперэлитных и элитных).

2. Заготовленные с маточников, не имеющих видимых симптомов вирозов и фитоплазмозов.

3. Заготовленные с маточников, заложенных нетестированным посадочным материалом.

Саженцы смородины подразделяются на 2 товарных сорта:

1. Внешний вид.

2. Возраст саженцев (одно или двулетние).

3. Корневая система у однолеток-двулеток должна быть с полным одревеснением, окраска коры от светло до темно-коричневой. Число корней должно быть не менее 4 для 1-го сорта и 3 для 2-го сорта. Длина корневой системой – не менее 20 см для 1-го сорта, не менее 15 см для 2-го сорта.

4. Надземная часть – число побегов для двулетних саженце не менее 3-х и не менее 2-х для 2-го сорта. Для однолетних саженцев не менее 1. Диаметр основания надземной части.

5. Зараженность вредителями и болезнями не допускается.

Саженцы малины

Представляют собой одревесневшие однолетние отпрыски. По фитосанитарному состоянию подразделяют на три категории:

1. Заготовленные с оздоровленных маточных насаждений.

2. Заготовленные с маточников, протестированных на отсутствие сокопереносимых вирусов и микоплазменных заболеваний.

3. Заготовленные с маточников, заложенных рядовым посадочным материалом, не имеющим видимых симптомов заражения вирусными и фитоплазменными заболеваниями.

Саженцы малины подразделяют на 2 товарных класса:

1. Внешний вид.

2. Возраст должен быть 1 год.

3. Корневая система: количество корней для 1-го и 2-го сорта не менее 3. Длина корней для 1-го сорта не менее 15 см, для 2-го не менее 10 см.

4. Надземная часть: количество побегов – 1 шт., диаметр основания побега должен быть не менее 1 см для 1-го сорта, для 2-го – не менее 0,8 см.

Зараженность вирусами и фитоплазмами, вредителями не допускается.

Яблоня и груша

Саженцы яблони и груши по фитосанитарному состоянию подразделяют на три категории:

1. Подвои и привои, использованные при производстве саженцев, полученных с оздоровленных маточников.

2. Привои, заготовленные с тестированных маточников, а подвои – с яблонь и груш, где отсутствуют вирусы, переносимые с пыльцой.

3. Привои и подвои, заготовленные с маточников, заложенных не тестированным посадочным материалом, не имеющим видимых заражений вирусами и микоплазмами.

Саженцы и яблони подразделяются на 2 товарных сорта.

Показатели: внешний вид, корневая система.

Наличие карантинных объектов не допускается.

Ограничено наличие галлов бактериального корневого рака, наличие гнилей корней, заселенность кровяной или грушевовязовой

Устойчивость многомерных стационарных систем

В прошлом семестре мы рассматривали устойчивость одномерных САУ, которые имели одну входную и одну выходную величину. Связь между входом и выходом описывалась линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Рассмотрим систему, которая имеет m входов и n входов и которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В общем случае эти уравнения имеют вид:

(1)

.

.

Если использовать векторно-матричную форму записи, то система (1) запишется

(2)

Для системы (1) или (2) так же, как и для одномерных систем, можно ввести понятие устойчивости номинального режима.

Пусть номинальный режим в системе (1) или (2) характеризуется входными сигналами:

и номинальными начальными условиями

При этих входных сигналах и начальных условиях существует номинальный режим, который обозначим

Обычно бывает трудно поддерживать номинальные начальные условия и в системе существуют реальные начальные условия ( «отклоненные» начальные условия)

При отклоненных начальных условиях и тех же номинальных входных воздействиях в системе устанавливается «отклоненный» номинальный режим

Запишем систему уравнений (1) для номинального режима и номинальных начальных условий

(3)

Запишем систему уравнений (1), соответствующую «отклоненным» начальным условиям и тем же входным воздействиям:

(4)

Обозначим

Номинальный режим будем называть асимптотически устойчивым, если достаточно малым значениям отклонений начальных условий соответствуют для любого достаточно малые отклонения и

Положим

Тогда уравнение (4) запишется:

(5)

Запишем систему уравнений для отклонений Для этого из уравнений (5) вычтем почленно систему уравнений (3)

(6)

или в векторно-матричной форме

(7)

Если все координаты системы (6) будут малы и , то номинальный режим системы (1) будет асимптотически устойчивым.

Поскольку система уравнений (6) или (7) не зависят от входных воздействий, то будут одновременно устойчивы или неустойчивы все номинальные режимы системы (1).

Таким образом, для линейных многомерных систем, так же как и для линейных одномерных систем, можно говорить не об устойчивости номинальных режимов, а об устойчивости системы (т.е, если система устойчива, то устойчивы все ее номинальные режимы)

Как известно из курса дифференциальных уравнений общее решение однородного дифференциального уравнения (6) (системы линейных уравнений) определяется корнями характеристического уравнения, т.е. (8)

где - константы, зависящие от начальных условий, - корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение для нахождения корней для системы (6) имеет вид:

(9)

Для нахождения корней надо расписать определитель (9) , получится уравнение ой степени, по которому и определяются корней.

Из уравнения (8) следует, что если вещественная часть корней , то система (6) асимптотически устойчива.

Пример.

Исследовать устойчивость многомерной системы

Система многомерная, т.к у нее 2 выхода, хотя вход один.

Запишем уравнения в отклонениях от номинального режима

Здесь нет Х_i, , т.к. это входные воздействия, а они вычитаются.

Составим определитель

Согласно критерию Гурвица , система второго порядка устойчива, если все ее коэффициенты положительны.

Следовательно, исходная многомерная система будет устойчива.

Запись дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме

( через переменные состояния)

Иногда при описании динамики САУ используют переменные состояния - это внутренние часто недоступные переменные, которые определяют состояние объекта в каждый момент времени t.

Здесь U₁….U_m- управляющие воздействия, т.е переменные , влияющие на поведение объекта, , (U –принадлежит m-мерному вещественному линейному пространству)

У₁…..У_n – выходные переменные, их можно измерять и они отображают реакцию объекта на управляющее воздействие, ,

Х₁….Х_n- переменные состояния , , ,

F₁….F_i- возмущающие воздействия, .

Запишем уравнения многомерного объекта через переменные состояния:

(1) - это дифференциальные уравнения состояния,

(2) – выходные переменные объекта, записанные через переменные состояния.

, , .

Для описания одномерного объекта обычно используют скалярное дифференциальное уравнение

(3)

Это уравнение можно привести к виду (1) и (2) после выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (n) , а , и

Наиболее простое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния берется выходная величина у и ее производные до (n-1) порядка включительно. При этом вместо уравнения (3) для одномерного объекта имеем:

(Пояснения:

если задано диф. уравнение

тогда и и в форме Коши

)

При этом

, . .

Переход от (1) и (2) к (3) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать бесконечное множество наборов переменных состояния, важно только, чтобы они были линейно-независимы.

При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы А,В,С.

Пример. (для Госэкзамена)

Система описана дифференциальными уравнениями в форме Коши

Необходимо записать их в векторно-матричной форме

получив матрицы А,В,С^Т.

Ответ:

, , .