Моделирование (в широком смысле) является основным методом исследований во всех областях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей (аналитических и имитационных), реализуемых на современных ЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента экспериментатора с моделью системы.
Условно молено выделить три крупные области применения средств математического моделирования [19].
I. Информационные системы и средства коммуникации (поиск, хранение, передача информации и обработка ее в реальном времени, создание банков данных, расширение доступа к образованию, облегчение быта и т. п.).
II. Автоматизация и управление различными видами человеческой деятельности (автоматизированные системы научных исследований (АСНИ), системы автоматизации проектирования (САПР), автоматизированные системы управления производством (АСУП), в частности управление гибкими автоматизированными производствами).
III. Математическое моделирование объектов и процессов разнообразной природы (применение методов математического моделирования для получения качественных и количественных характеристик сложных технологических процессов и технических изделий, их исследование и прогнозирование).
Построение модели, алгоритма и программы является типичным для каждого из направлений. Фактически всегда в той или иной степени приходится иметь дело со всеми тремя видами деятельности. Концепция математического моделирования в настоящее время детально разработана. В сущности, этапы проведения математического эксперимента — это конкретное отражение объективного процесса познания — от момента абстрагирования до внедрения полученных знаний в практику. Схематично этот процесс представлен на рис. 1.3 [20].
Используя схему, выделим основные этапы моделирования.
Этап I. На этом этапе формулируется математическая модель или «математический образ», изучаемого объекта. Прообраз освобождается от «случайных черт», из всех характеризующих его связей выделяются наиболее существенные. Эти связи, как правило, записываются в виде уравнений, которые выражают фундаментальные законы естествознания (например, закон сохранения энергии), примененные к данному объекту. Сами объекты могут быть совершенно различными по своей природе и назначению — физические или биологические явления, технологические процессы, механизмы или конструкции.
Рис. 1.3 - Схема вычислительного эксперимента
Идеализация, упрощение исходного явления — начало всякого научного иcследования. Важнейшее преимущество вычислитьнльного эксперимента состоит в том, что он позволяет эффективно изучать сложные и полные математические модели, всесторонне описывающие объект. Обычные же математические методы дают возможность исследовать лишь относительно простые модели, то есть отдельные стороны процессов, и в большинстве практически важных случаев оказываются пригодными лишь на первоначальной стадии научного поиска.
Классическая математика имела дело в основном с линейными задачами и добилась на этом пути выдающихся результатов. В математическом плане линейность означает, что сумма (суперпозиция) любых частных решений данной задачи также является решением. В более широком смысле линейность подразумевает схожесть части и целого, возможность предсказывать поведение объекта по поведению его фрагментов. Это свойство (принцип суперпозиции) широко используется в общепринятой методологии для построения общей теории.
Однако практика показывает, нелинейность большинства явлений. Например, задачи теплофизики становятся нелинейными в тех случаях, когда заметно изменяется состояние объекта (скажем, его температура). Нелинейные объекты заметно усложняются по мере своего развития. В результате неизмеримо возрастают математические проблемы, ибо непонятно, как создать достаточно общую теорию, используя классические подходы.
Но это не главная трудность. Зачастую внутренним свойством нелинейных систем оказывается не плавное, а скачкообразное (и иногда противоположное ожидавшемуся) изменение их поведения. При этом внешние условия могут изменяться непрерывно и, казалось бы, в «разумную» сторону. В итоге, как правило, невозможно прогнозировать поведение нелинейных объектов, опираясь только на предшествующий опыт. Характерным и чуть ли не ежедневным примером таких явлений служат атмосферные процессы, оказывающие определяющее влияние на формирование погоды.
Тем самым необходима разработка методов исследования нелинейных задач. Одним из них выступает вычислительный эксперимент. Он применяется и при изучении линейных объектов, имеющих сложную пространственную структуру, зависящих от большого числа параметров и т. д. Однако наиболее естественное поле его действия — именно нелинейные задачи.
Этап II. Создание математической модели—лишь первый шаг. Необходимо изучить ее поведение, то есть решить входящие в нее уравнения при различных значениях параметров, управляющих процессом. Для этого используется основной теоретический аппарат вычислительной математики — численные методы (вычислительные алгоритмы). Они позволяют с нужной точностью получить приближенное решение весьма сложных задач за конечное число арифметических действий. Хотя первые численные методы решения некоторых задач предложены еще Ньютоном и Эйлером, их эффективность была полностью осознана лишь с возникновением вычислительного эксперимента. Теория современных численных методов — разветвленный раздел математики, имеющий свои крупные достижения. Их совершенствование снимает ограничения на сложность изучаемых математических моделей. Таким образом, выбор вычислительного алгоритма представляет собой второй этап математического моделирования.
Этап III. На этом этапе на одном из алгоритмических языков составляется программа для ЭВМ, реализующая выбранный алгоритм, то есть переводящая его на понятный для вычислительной машины язык.
Знаменательно, что у математики появился не только свой инструмент, но и своя собственная «технология». Важным ее элементом являются проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ. Сложность современных программ и требования к ним непрерывно возрастают. В то же время накоплено большое количество алгоритмов, предназначенных для решения широкого класса задач. Встают проблемы, связанные с эффективным обменом приобретенным опытом, стандартизацией программного фонда и его доступностью, предотвращением ненужного дублирования разработок. Как правило, математическое моделирование помимо основных этапов содержит два вспомогательных, связанных с определением свойств среды (теплофизические, термодинамические, оптические, кинетические и др.) и обработкой данных реального и математического экспериментов.
Этап IV. Свойства среды. Математическая модель должна учитывать реальные свойства изучаемой среды, которые входят в модель в виде коэффициентов уравнений. Если, например, изучается плазма в приближении сплошной среды, то нужно знать уравнение состояния, коэффициенты теплопроводности, электропроводности, сечения различных реакций и т. д. Для получения этих данных проводится вспомогательный вычислительный эксперимент, опирающийся на квантово-механические модели атома и использующий имеющиеся результаты физических опытов для калибровки этих моделей. Следует подчеркнуть, что искомые характеристики среды зависят как от изучаемого объекта, так и от выбора исходной модели для основной проблемы.
Этап V. Обработка данных экспериментов. Для большинства реальных экспериментов непосредственное измерение величин, характеризующих состояние изучаемого объекта, представляет большие трудности, а иногда вообще невозможно, поэтому результаты измерений необходимо обрабатывать математическими средствами. При обработке данных натурного эксперимента нужно также выбрать математическую модель и провести весь цикл математического моделирования. Проблема обработки наблюдений представляет специалистам огромное поле деятельности, значение которой в рамках математических экспериментов исключительно велико.
Этап VI. Проведение вычислений на ЭВМ по составленным программам. Во многом он похож на обычный эксперимент. На машине (экспериментальной установке) проводятся серии расчетов (измерений), в результате которых исследователь получает совокупность чисел, описывающих поведение объекта.
Этап VII, завершающий. На завершающем этапе проводится анализ результатов, сопоставление их с чисто теоретическими прогнозами и данными натурного эксперимента. Становится ясно, удачно ли выбраны математическая модель и вычислительный алгоритм. При необходимости они уточняются, и цикл математического моделирования повторяется на более совершенной основе.
Исследователям, осуществляющим математическое моделирование (как, впрочем, и другие виды моделирования), часто приходится сталкиваться с вопросом: насколько можно верить его результатам? Ведь изучается не сам объект, а его математическая модель.
Прежде всего отметим, что формирование модели для вычислительного эксперимента не умозрительный акт, совершаемый на «пустом месте». Оно основано на всех имеющихся экспериментальных сведениях и теоретических представлениях, на всем приобретенном ранее опыте. Кроме того, этапы его проведения предусматривают «внутренний контроль», гарантирующий непротиворечивость выбранной модели, достаточную «разрешающую способность» алгоритма, правильность работы программы и т. д. Наконец, непреложным условием является сравнение получаемых результатов с практикой и уточнение модели.
В результате такого процесса модель «калибруется», выясняется область ее применимости, создается набор «эталонных» моделей. В дальнейшем они исследуются как самостоятельные объекты.
Само понятие «решить задачу» в математическом моделировании приобретает более широкий смысл. Итогом математического моделирования являются выраженные в точной количественной форме детальные и конкретные практические рекомендации, достигающие заданной цели (например, улучшения каких-либо параметров объекта).
Стоит также отметить, что результаты измерений в сегодняшних экспериментах требуют сложной и тщательной расшифровки. Для этого фактически проводится специальный вычислительный эксперимент по обработке и анализу результатов измерений, моделирующий взаимодействие объекта с измерительным прибором (его данные используются в «основном» вычислительном эксперименте, изучающем исходный объект). В то же время сводить функцию вычислительного эксперимента лишь к интерпретации опытных данных значит принижать его «футурологические» возможности.
Правильное взаимодействие между вычислительным и натурным экспериментами приводит к заметному повышению эффективности научных разработок. Это справедливо и по отношению к традиционным теоретическим методам исследования. Они отнюдь не «отменяются», наоборот, их важность для получения предварительной информации и тестирования алгоритмов возрастает.
В настоящее время вычислительный эксперимент стал одним из основных методов научных исследований. Синтез вычислительной математики и прикладных наук привел к возникновению новых научных дисциплин — вычислительной физики, вычислительной гидродинамики и др. Этот процесс продолжает развиваться вглубь и вширь, охватывая все новые сферы приложений.
