Ламинарное течение жидкости.

Исследование течения жидкости в данном случае заключается в выводе и анализе зависимостей, характеризующих:

- закон распределения скорости по живому сечению потока,

- закон распределения касательных напряжений,

- связь между расходом жидкости и перепадом давления.

3.1. Ламинарное течение в каналах круглого сечения.

( Течение Пуазейля-Гагена ).

Здесь p₁ и р₂ - давления в сечениях 1 и 2.

Как уже указывалось, установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнением Эйлера:

где - оператор Лапласа.

При рассмотрении ламинарного течения используются следующие допущения:

1. Течение - осесимметричное

Таким образом, можно рассматривать уравнение Навье-Стокса только в проекциях на ось Х:

2. Течение - установившееся

3. Силы тяжести - отсутствуют

Из 2-го и 3-го допущений следует:

4. Труба постоянного сечения

С учетом 4-го допущения в окончательном виде уравнение Навье-Стокса для установившегося осесимметричного течения можно записать:

Для осесимметричного течения , что следует из рис.

и следовательно - не зависит от х.

Таким образом, можно записать:

Здесь знак «-» потому, что давление уменьшается.

Таким образом, можно записать:

Или после преобразования:

Теперь дважды интегрируя данное уравнение можем получить зависимость для распределения скорости по живому сечению потока.

Окончательно получаем:

Из полученного уравнения следует, что закон распределения скорости по живому сечению имеет параболический характер.

Из полученного уравнения следует, что максиальное значение скорость имеет в центре живого сечения потока:

При r=0:

Распределение касательных напряжений.

Воспользуемся законом Ньютона для касательных напряжений, тогда:

Отсюда следует, что касательное напряжение - имеет линейный закон распределения.

Графически распределение касательных напряжений по сечению потока показано на рис.

Зависимость между перепадом давления и расходом

Рис. 3.6

Из рис. 3.6 следует, что площадь элементарного кольцевого сечения определяется по следующей зависимости:

где:

Расход жидкости через живое сечение потока можно найти интегрируя скорость жидкости по данному сечению:

Учитывая, что R=d/2 получаем так называемую формулу Пуазейля-Гагена для трубы круглого сечения расход определиться как:

Связь между расходом Q и перепадом давления при ламинарном течении имеет линейный характер.

Тогда средняя скорость по сечению:

Как уже указывалось максимальное значение скорости рассчитывается по зависимости:

при r=0:

Сравнивая полученную зависимость с зависимостью для средней скорости, получаем:

Коэффициент Кориолиса в общем случае равен:

Следовательно, производя подстановку ранее определенных значений, получаем, что коэффициент Кориолиса при расчете течения через кольцевой зазор α=2.

Полученные данные хорошо согласуются с опытными данными за исключением случаев:

- начального участка трубы, где происходит формирование профиля эпюры скоростей,

- течения с теплообменом ,

- течения в капиллярах и зазорах с облитерацией,

- течения при больших перепадах давления.

3.2. Ламинарное течение в зазоре между параллельными пластинами (Течение Куэтта).

Условия практически те же, что и для течения Пуазейля-Гагена.

Отличия:

1). Одна из стенок подвижна.

2). Задача неосесимметричная, а плоская.

Таким образом, полученное в предшествующем разделе уравнение

преобразуется к следующему виду:

так как

Как и в предыдущем случае:

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:

После интегрирования получим:

или

Расход жидкости через плоскую щель при ее ширине равной - b

В данном случае:

Таким образом:

Распределение касательных напряжений.

,

Принимая y=h мы можем получить касательные напряжения на движущейся пластине.

Это позволяет определить силу вязкого трения, которое в общем случае определяется по следующей зависимости:

Течение Куэтта можно рассматривать как суперпозицию двух течений: течения под действием перепада давления и фрикционного течения, вызванного движением одной из пластин.

Частные случаи течения Куэтта.

а). Чистый сдвиг (рис.3.6.)

, ,

б). Течение между неподвижными пластинами.(рис.3.7)

,

Отсюда следует, что: при

;

При

;

;

.

Для обеспечения нулевого расхода, скорость пластины должна быть: ,