Оценка тесноты связи.

Измерение тесноты и направления связи между признаками предлагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторов.

Теснота корреляционной связи между факторным и результативным признаками может исчисляться с помощью таких коэффициентов: эмпирический коэффициент корреляционной связи (коэффициент Фехнера); коэффициент ассоциации; коэффициент взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова; коэффициент контингенции; ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендэла; линейный коэффициент корреляции; корреляционное отношение и др.

Наиболее совершенно тесноту связи характеризует линейный коэффициент корреляции: , где – средняя из произведений значений признаков ху; – средние значения признаков х и у; - средние квадратические отклонения признаков х и у. Он используется в том случае, если связь между признаками линейная

Линейный коэффициент корреляции может быть положительным или отрицательным.

Положительная его величина свидетельствует о прямой связи, отрицательная – об обратной. Чем ближе к ±1, тем связь теснее. При функциональной связи между признаками = ±1. Близость к 0 означает, что связь между признаками слабая.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи на основе шкалы Чеддока:

Величина коэффициента корреляции при наличии	Характер связи
прямой связи	обратной связи
от 0,1 до 0,3	от -0,3 до -0,1	практически отсутствует
от 0,3 до 0,5	от -0,5 до -0,3	слабая
от 0,5 до 0,7	от -0,7 до -0,5	умеренная
от 0,7 до 0,9	от -0,5 до -0,7	сильная
0,9 до 0,99	от -0,99 до -0,9	весьма сильная

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда δ2 характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

где η - корреляционное отношение;

σ2 - общая дисперсия

- средняя из частных (внутригрупповых) дисперсий;

- межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних)

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

где - дисперсия выровненных значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ2 - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Корреляционное отношение является более универсальным показателем тесноты связи сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, т.е. при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляются множественный или совокупный и частные коэффициенты корреляции.

Кроме перечисленных выше коэффициентов для измерения тесноты применяются коэффициент детерминации. Он равен квадрату корреляционного отношения и обозначается буквой η2

В числителе формулы стоит сумма квадратов отклонений фактических значений признака у от индивидуальных расчетных показателей. Эта сумма не может равняться нулю, если связь не является функциональной.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:

где - среднее значение соответствующего факторного признака;

- среднее значение результативного признака;

аi - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Частный коэффициент детерминации показывает на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-того признака, входящего в множественное уравнение регрессии и определяется по формуле:

где ryxi - парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаками;

βхi - соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизованном виде.

Множественный коэффициент детерминации (R2) представляет собой множественный коэффициент корреляции в квадрате и показывает какая доля вариации результативного признака обусловлена изменением факторных признаков, входящих в многофакторную регрессионную модель.

Для более точной оценки влияния каждого факторного признака на моделируемый используют Q-коэффициент, определяемый по формуле:

где - коэффициент вариации соответствующего факторного признака.

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

для парной корреляции - или , а коэффициент

для многофакторной корреляции - где аi - коэффициент регрессии в уравнении связи, σхi - среднее квадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.