Введение в теорию ДУ.

Линейная дискриминантная функция D трех переменных X, Y и Z имеет вид:

D= а₁Х + а₂У + а₃Z

Коэффициенты а_j дискриминантной функции можно найти из системы трех уравнений:

(1)

В формулах системы (1) cov_ij - элементы ковариационной матрицы [COV]объединенной выборки [А+В]признаков X, Y и Z, которая имеет вид:

Х_А+В У_А+В Z_А+В Х_А+В Y_А+В Z_А+В

a d_j - разности средних значений признаков X_t Y и Z по выборкам А и В:

Значения элементов cov_ij главной диагонали ковариационной матрицы [COV] представля­ют собой дисперсии переменных X, Y и Z объединенной выборки [A+В], а значения недиагона­льных элементов - ковариации cov (X, Y) = cov (Y, X), cov (X, Z) = cov(Z, X) и cov (Y, Z) = cov (Z, Y). Эти элементы рассчитываются по формулам:

Система уравнений (1) решается с помощью детерминантов матрицы [COV]по формулам Крамера: , , , а детерминант ∆ матрицы [COV] объединенной выборки [A+В] – по формуле:

Детерминанты рассчитываются по тому же правилу, что и детерминант ∆. Матрицы для их вычислении образуются из основной матрицы [COV] путем замены в ней столбца, соот­ветствующего индексу j коэффициента a_j, вектором-столбцом [d]. Эти матрицы и расчетные формулы имеют вид:

После нахождения коэффициентов a_j строится уравнение дискриминантной функции и вычисляется значение дискриминантного индекса d_o, служащего для определения принадлеж­ности любого трехмерного наблюдения из третьей выборки С к одной из двух исходных вы­борок (А или В):

Принадлежность любого классифицируемого трехмерного наблюдения к одной из двух анализируемых выборок (А или В) можно определить путем подстановки его значений X, Y и Z в неравенство а₁∙X + а₂∙Y+ а₃∙Z ³ d_o. Если неравенство выполняется, то единичное наблюдение следует отнести к первой совокупности, т.е. к выборке А, иначе - к выборке В.

Статистическая значимость рассчитанного уравнения линейной дискриминантной функ­ции оценивается с помощью критерия Махалонобиса

d_М²= а₁∙ d₁ + а₂∙ d₂+ а₃∙ d₃

и F— критерия Фишера

где m - количество переменных.

Если Fpaсч.>F_meop. для принятого уровня значимости а и при степенях свободы f₁ = т-2, f₂= n_а+ n_B -т-1,то нулевая гипотеза о равенстве двух трехмерных средних (т.е. о равенстве нулю расстояния d_М² между ними) отвергается и дискриминантная функция признается статистически значимой.

Относительный вклад j-й переменной в расстояние d_М² между трехмерными средними двух выборок А и В определяется по формуле: .

Величину e_j можно использовать для минимизации количества признаков в классификации. Для этого признаки ранжируют по степени их влияния на дискриминантную функцию D в соответствии с их вкладами e_j. При этом признаки с отрицательными значениями e_j из дальнейших расчетов исключаются как неинформативные.

Введение в теорию ДУ.

Основная цель – поиск методов решения ДУ, свойств.

ДУ – уравнение, в котором есть функция и ее производные дифференциалы величин, зависимость между которыми нужно найти.

ДУ порядка n имеет вид:

(1)

Старший порядок – порядок ДУ.

x-неизвестная переменная, у-искомая функция от х { y=y(x)}.

ДУ бывают в частных производных, тогда ДУ называют уравнением в частных производных, т.е. функция зависит от нескольких переменных и уравнение содержит частную производную, то оно называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Решением ДУ (1) называют такую функцию y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

ПО умолчанию все функции вещественно-значимые.

Решения у ДУ бывают: общие, особые, частные.

Любое конкретное решение называют частным.

Общее решение – формула, содержащая одну или несколько произвольных постоянных, по которым могут быть получены частные решения. Особые решения не может получиться из общего.

Пример ДУ:

-известная функция.

Общее решение уравнения:

(возьмем С – получим частное решение).

Решение может быть получено явно, в квадратурах, либо доказательством.

Если решение ДУ выражено через элементарную функцию, то говорят, что она найдена в явном виде. Если уравнение записано через элементарные функции и интегралы от них, то оно найдено в квадратурах.

В явном виде может быть в 3 вариантах: явно, неявно, параметрически.

Явно: , решение: .

Параметрически: , решение через параметр t: .

Неявно: , решение .

Чтобы выделить конкретное решение из множества всех решений, нужно задать дополнительное условие. Для ДУ первого порядка задают условие Коши.

.

График решения проходит через эту точку – интегральная кривая.

Найти графически: .

Метод изоклины (графический метод) – геометрическое место точек, в котором интегральные кривые ДУ имеют одно и то же направление.

Уравнение изоклины: . – угол наклона касательной к интегральной кривой относительно оси абсцисс. Фактически касательная к графику кривой – изоклина. Кривая – графическое решение ДУ.

Алгоритм. Выбираем несколько , строим на плоскости соответствующие им изоклины, после, начиная с некоторой точки, соединяем их по направлению.

,

Графическое – приближенное значение.