Определение отношения делимости натуральных чисел. Свойства отношения делимости

Вычитание и деление целых неотриц.чисел не всегда выполнимые операции. Например, разность чисел 3 и 11 во мн.целых неотриц.чисел не существует. Однако разность а-в целых неотриц.чисел а и в будет существовать, если будет выполняться условие: а в. Для деления такого простого условия нет. Пусть даны целое неотриц.число а и нат.число в. Если при делении с остатком числа а и в остаток равен 0, то число в называется делителем числа а. Если в- делитель числа а, то существует такое целое неотриц.число q, что а=вq. Если в- делитель числа а, то говорят, что а кратно в, и пишут а в. П: число 33 кратно 11,т.к.при делении 33 на 11 остаток равен 0. При этом пишут 33 11. Отношение делимости следует отличать от действия деления. Действие деления связано с выражением вида а:в. Н., 126:9, значением которого яв-ся число 14. Отношение делимости связано с предикатом вида а в (читают а делится на в), значением истинности которого яв-ся элемент мн.{И; Л}, где И- значение истинности «истинно», Л- значение истинности «ложно». Н: 126 9- истинное высказывание, а 126 5- ложное высказывание. Cв-ва отношения делимости: 1. Отношение делимости на мн.N нат.чисел рефлексивно,т.е.любое число а кратно самому себе. Док-во: т.к.существует такое число q=1, что а 1=а, то по определению отношения делимости а а. 2.Если число в яв-ся делителем нат.числа а, то в а. Док-во: т.к.а в, то существует нат.число q, что а=вq. Поскольку q нат.число, то q 1 или 1 q. Умножим обе части неравенства на в, получим в вq. Но вq=a, потому в а. 3.Отношение делимости антисимметрично, т.е.если число а делится на в и а в, то число в не делится на а. Док-во(методом от противного): допустим, что в делится на а. Тогда по св-ву 2 имеем а в. По условию, а делится на в, значит, в а. Неравенство а в и в а истинны только в том случае, если а=в. Пришли к противоречию с условием. 4.Отношение делимости нат.чисел транзитивно, т.е.если а в и в с, то а с.Док-во: т.к.а в и в с, то существуют нат.числа q₁ и q₂ такие, что а=вq₁ и в=сq_2. Имеем а=вq₁₌(cq₂)q₁= c∙(q₂q₁), где q₂q₁- нат.число. Последнее равенство означает, что а с. П: 96 48, а 48 12, то число 96 12.