Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона–Лейбница:

где F′(x) = f(x).

2. Замена переменной:

где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .

3. Интегрирование по частям:

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то

5. Если f(x) – четная функция, то

Примеры.

1)

2.58. Вычислить интегралы:

1) 2) 3) ; 4)

5) ; 6) 7) ; 8)

9) 10) 11) ; 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19)

Геометрические приложения определенного интеграла

Пример 2.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х², х = у².

Решение.

Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Площадь фигуры

2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) 2)

5) ; 6)

7) 8)

9) 10)

2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

2)

4)

Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:

2.61. Найти длину дуги кривой:

1) от х = 0 до х = 1; 2) от х = 0 до х = 1;

3) от точки О(0; 0) до точки А(4; 8).

Указание. Длина дуги кривой при равна