Операции над матрицами

Определение. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают А, В,…С, а их элементы а_ij, где i – номер строки, а j – номер столбца, в котором стоит элемент.

Матрицы одинаковых размеров можно складывать, умножать на число, транспонировать. Эти операции выполняются поэлементно. Умножение двух матриц возможно для матриц определенного размера; количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй: A_m×n ٠ B_n×p = C_m×p. Умножение матриц некоммутативно, т. е. А٠В ≠ В٠А. Матрицы, для которых равенство выполняется, называют перестановочными.

Свойства операций над матрицами:

1. 3.

2. 4.

5. 7.

6. 8. .

1.1. Вычислить матрицу , где Т – знак транспонирования:

1) , , ;

Пример 1.1.

= = ,

.

Итак, D =

2) , , ;

3) , , ;

4) , , С

1.2. Даны матрицы А, В в таблице 1.1. Вычислить матрицу , где Е–единичная матрица соответствующей размерности.

Таблица 1.1

1.3. Рассмотреть пример и решить задачи.

1) Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат А . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа x_j, записанное матрицей Хn×1.

Определить S матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

Пример 1.2.

Дано:

Решение. Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц А и Х, т. е. S = A٠X.

S =

т. е. за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса первого вида, 960 ед. ресурса второго вида, 450 ед. ресурса третьего вида и 630 ед. ресурса четвертого вида.

2) Предприятие выпускает продукцию двух видов: P , P и использует сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей где (i = 1,2; j = 1, 2, 3) – количество единиц сырья типа , необходимого для производства единицы продукции вида . План выпуска продукции задан матрицей – строкой В.Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей – столбцом С (табл. 1.2). Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Таблица 1.2

Найти матричную формулу для решения задачи.