Алгоритмы обнаружения морских объектов и реализующие их структуры

Для представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей используется метод неопределенных коэффициентов. Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей четырёх типов по следующему алгоритму:

1) Разлагаем знаменатель правильной рациональной дроби на множители степени не выше второй (Причём вторую степень можно оставлять лишь в том случае, когда нет действительных корней в множителе знаменателя, то есть D<0).

2) В числителе ставим просто буквы А, В, С, … - если корни действительные и выражения вида Мх+N, Сх+D, … - если корни мнимые.

3) Если корни кратные, то слагаемых будет столько, какова кратность корня, причем степени знаменателя понижаются на единицу, начиная с высшего показателя до первого.

4) Неизвестные коэффициенты А, В, С, М, ... находят методом неопределённых коэффициентов.

Например, представим дроби в виде суммы простейших, не находя коэффициентов.

а)

;

б)

.

Рассмотрим пример представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших.

Найдём A, M, N, P, Q методом неопределённых коэффициентов.

Дроби равны и знаменатели равны, следовательно, числители дробей тоже равны. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменного.

Если знаменатель имеет только действительные корни, то можно пользоваться другим приёмом: в полученном тождестве придавать переменному значения равные корням знаменателя.

Например:

;

;

Приимеем ;

Следовательно, .

Иногда пользуются обеими методами сразу.

Рассмотрим интегралы, которые сводятся с помощью разложения методом неопределённых коэффициентов к интегралам от простейших рациональных дробей I, II и III типов

Пример 1. Найти .

Решение.

Две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если равны их числители:

раскроем скобки, и приведём подобные члены:

два многочлена равны между собой, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Пример 2. Найти

Решение.

Рациональнее здесь будет воспользоваться комбинированным методом. Сначала подставим, корни знаменателя х = 0 и х = -1 в обе части равенства, получим

если х = 0, то А=2,

если х = -1, то В=1.

А затем, приравняем коэффициенты при и в левой и правой части равенства:

Итак, А=2, В=1, D= -2, С= -2.

Поэтому

Пример 3.Найти .

Решение.

Задания для практической работы №3.

1.Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования:

Вариант	а	б	в

2.Вычислите интегралы методом замены переменной или подведением под знак дифференциала.

Вариант	а	б

3. Вычислите интеграл методом интегрирования по частям.

Вариант		Вариант

4. Вычислить интеграл, разложив подынтегральную функцию на сумму простейших рациональных дробей.

Вариант		Вариант

Срок сдачи практической работы

Алгоритмы обнаружения морских объектов и реализующие их структуры

Описание гидроакустических систем и условий их использования основано на статистической теории гидро­локации - разделе технической гидроакустики, в которой разрабатываются вероятностные модели сигналов, помех и условий подводного наблюдения, а на основе этих мо­делей - методы анализа и синтеза гидролокационных сис­тем. С точки зрения общих методов решения задач гидролокация имеет много общего с радиолокацией, однако ряд специфических ее особенностей обусловливает самостоя­тельность научного направления - статистической теории гидролокации.

Гидроакустическое обнаружение сводится к принятии решения о наличии или отсутствии полезного сигнала (це­ли). Поскольку прием полезного сигнала происходит в присутствии помех, затрудняющих процесс принятия реше­ния, задача обнаружения является статистической, а ре­шение принимается с той или иной вероятностью, опреде­ляющей качество обнаружения. Реализация трактов гидроакустического обнаружение основывается на априорных сведениях о структурах (моде­лях) полезного сигнала и помехи, а также на выбранных критериях. Исходя из этого, находят методы обработки сигналов, оптимальные с точки зрения выбранных критери­ев, и синтеза структур оптимальной обработки. Посколь­ку реализация оптимальных структур весьма сложна, отыскивают структуру квазиоптимальных устройств, показате­ли качества которых не сильно отличаются от оптималь­ных.

При решении задачи обнаружения тракт обработки гидроакустического сигнала предназначается для преоб­разования и представления решающему звену информации в виде, удобном для принятия одного из двух решений (двухальтернативная задача). Поскольку в этом случае возможен один из четырех вариантов, то наиболее общее правило решения должно быть построено таким образом, чтобы в среднем потери, сопряженные с каждым результа­том, были возможно меньшими. Аналитически это условие представляется в виде:

(8.1)

где R- риск, или ожидаемая величина потерь; P₁ и P₀ - априорные вероятности наличия и отсутствия сиг­нала соответственно; C₀₀, C₁₀, C₁₁, C₀₁ - стоимость каж­дого варианта принятия решения, где первая цифра под­строчного индекса означает выбранную гипотезу, а вто­рая - гипотезу, которая была правильной; Uo - пороговое значение выходного эффекта, определяющее пространство наблюдений; р(u_п),p(u_с.п) - плотность распределения вероятностей выходного эффекта при наличии только помехи или сигнала и помехи. Критерий, аналитически выраженный формулой (8.1), известен как критерий Байеса. Он приводит к вычисле­нию отношения правдоподобия и сравнению его с порогом (8.2)

эквивалентной формой записи которого является

(8.3)

Величина носит название обобщенного отношения правдоподобия и определяется выражением (8.4)

Величина определяет порог при реализации критерия Байеса:

. (8.5)

Вся процедура обработки сводится к вычислению и распределение априор­ных вероятностей или стоимостей на нее влияния не ока­зывает. Эта инвариантность процедуры обработки информации имеет большое значение, поскольку стоимость и априорные вероятности могут быть просто квалифицированными предположениями на основе предыдущего опыта (интуиции). Существует несколько специальных видов критерия Байеса, которые используются в ГАС. Так, принимая выражение (4.1) можно записать в виде:

(8.6)

Выражение (8.6) есть полная вероятность ошибки, т.е. критерий Байеса минимизирует полную вероятность ошиб­ки. При этом критерий аналитически выражается в виде:

(8.7)

где называют отношением правде подобия. Такой же результат получается из условий (8.4) и (8.5). Этот частный критерий известен как кри­терий идеального наблюдателя. Когда две гипотезы равно вероятны , порог равен нулю, что приме­нимо к цифровым системам связи, где минимизируется пол­ная вероятность ошибки. Трудность реализации этого критерия в ГАС состоит в необходимости знания априорных вероятностей гипотез.

Другой частный случай соответствует ситуации, когда априорные вероятности известны. Из (8.1) видно, что в этом случае значения интегралов становятся оп­ределенными и выражают условные вероятности ложной тревоги , правильного обнаружения и пропуска сигнала :

(8.8)

Тогда из выражения (8.1) получают критерий, рассчитанный на минимизацию максимально возможного риска, который называется минимаксным критерием и аналитически выражается в виде

(8.9)

Особым случаем распределения стоимостей, который час­то бывает логически оправданным, является C₀₀-C₁₁=0, что гарантирует внутренний максимум функции (8.9). Обозначив С₀₁ С_л.т ; С₁₀ С_пр , получаем минимакс­ное уравнение в виде: С_пр Р_пр=С_л.т Р_л.т (8.10) Поскольку в реальных условиях гидроакустического обнаружения предсказать реалистические стоимости и априорные вероятности трудно, проще оперировать лишь ycловными вероятностями Р_л.т и Р_п.о . Противоречивость стремлений сделать Р_л.т как можно меньше и Р_п.о как можно больше, приводит к критерию, при котором ограничивается одна из вероятностей и максимизируется (минимизируется) вторая. Алгоритм ограничения Р_л.т = и максимизация Р_п.о (или минимизация) при указанном ограничении могут быть реализованы с использованием метода множителей Лангранжа.

Чтобы удовлетворить указанному ограничению, выби­рают такое значение отношения правдоподобия, что Р_л.т = ,т.е.

(8.11)

Решение уравнения (8.11) относительно u₀ дает величину порога в пороговых обнаружителях. Этот критерий, при котором максимизируется вероятность правильного обнаружения при фиксированной величине вероятности ложной тревоги, называют критерием Неймана - Пирсона и реализуют лишь в автоматических обнаружителях. Если решение принимает оператор, то процедура принятия решения, как правило, определяется критерием последовательного наблюдателя (Вальда), суть которого состоит в реализаций двух порогов и зоны неуверенных ответов, требующих дополнительного испытания. Такой же критерий может быть реализован и в автоматических сис­темах гидроакустического обнаружения.

Сравнение физической сущности трех наиболее чаете реализуемых в ГАС критериев можно произвести, исполь­зуя рис. 8.2. Из рис. 8.2,а видно, что в случае критерия идеального наблюдателя максимизируется вероятность правильного решения, поскольку величина вероятности ошибочного решения (Рл.т + Рпр) минимальна при выборе порога, как показано на рисунке. При этом необ­ходимые априорные вероятности нали­чия Р₁ и отсут­ствия Р₀ объек­та поиска в зоне действия средства обнаружения опре­деляются либо по данным предвари­тельной (гидро­акустической) разведки, либо аналитически в соответствии с теорией поиска, либо ин­туитивно челове­ком-оператором.

В случае критерия Неймана-Пирсона фиксируется вероятность ложной тревоги, которая принимается равной некоторой минимальной величине (меньшей, чем в случае идеального наблюдателя), и, следовательно, вероятности пропуска сигнала возрастает, что ведет к уменьшению вероятности правильного обнаружения (см.рис.8.2,6).

Рис. 4.2

В случае критерия последовательного наблюдателя наряду с минимизацией вероятности ложной тревоги(она меньше, чем в случае идеального наблюдателя) минимизи­руется вероятность пропуска сигнала (она также меньше, чем в случае идеального наблюдателя), т.е. критерий последовательного наблюдателя минимизирует вероятности пропуска сигнала при минимальной заданной вероятности ложной тревоги (см. рис. 8.2,в), что является условием для определения пороговых значений и соот­ветственно.

Выбор того или иного критерия обусловливается внешними условиями. Если требуется малая вероятность ложных тревог, то целесообразно избирать критерий Ней­мана-Пирсона. Когда величину вероятности ложной трево­ги нельзя считать меньше вероятности пропуска сигнала, отдают предпочтение критерию идеального наблюдателя. Критерий последовательного наблюдателя может применять­ся в тех случаях, когда с отдельных участков обследуе­мых площадей информация снимается в течение более дли­тельного времени. Несмотря на это, критерий последова­тельного наблюдателя позволяет уменьшить общее время обнаружения при той же правильности результата, что при критерии Неймана-Пирсона, или повысить правильность обнаружения за то же время наблюдения. Критерий после­довательного наблюдателя никогда не может быть хуже критерия Неймана-Пирсона, но приводит в рдде случаев к определенной сложности его реализации.

В гидроакустических обнаружителях наиболее широ­кое распространение получил критерий Неймана-Пирсона. Это обусловлено рядом обстоятельств: неодинаковой важ­ностью случаев ложной тревоги и пропуска сигнала (тре­бование Рл.т ); относительной несложностью технической реализации; меньшей чувствительностью к изменению отношения сигнал/помеха (в случае слабых сигналов не зависит от порога).

В заключение необходимо отметить, что для любого критерия оптимальная процедура испытаний состоит в об­работке результатов наблюдения с целью отыскания отно­шения правдоподобия и в сравнении его с порогом для принятия решения. При этом следует учитывать достаточ­ность статистики, т.е. реализация выбранного критерия обнаружения характеризуется конечным временем, определяемым тактическими и техническими возможностями ГАС.

Время реализации критерия принятия решения в реальных условиях определяется продолжительностью обследова­ния элементов разрешения, что, например, в ШПС соответ­ствует времени перемещения ДН в пространстве на величи­ну θ_0,7. В ГЛС число элементов определяется разреше­нием по дистанции, частоте и угловым координатам. ГАС с одновременным обследованием большого числа элементов разрешения называют многоканальной. Качество обнаружи­теля определяется характеристиками, связывающими веро­ятности правильных и ошибочных решений в зависимости от отношения сигнал/помеха. Их аналитическое выражение P_п.о=f(u_c/u_п)
полностью определяется видом распределения выходного эффекта, следующим из выбранной модели сигнала и помехи (отвечающим конкретным условиям при­менения ГАС), и реализуемым критерием обнаружения. В гидролокационных обнаружителях наиболее часто распределение выходного эффекта описывается гауссовским, реле­евским и обобщенньм релеевским законами. При реализации критерия Неймана-Пирсона рабочие характеристики прием­ника (РХП) описывают зависимость вероятностиправильного обнаружения от вероятности ложной тревоги при фик­сированном значении отношения сигнал/помеха.