Методы интегрирования. Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования является одним из основных методов.

Этот прием интегрирования применяется в том случае, если интеграл табличный или легко сводится к одному или нескольким табличным, путем использования свойств подынтегральной функции или следующих правил интегрирования:

1. ,

2. ,

где ¦(х), - интегрируемые функции, k=const.

Пример 1. Найти .

Решение. Представляя интеграл от алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов и применяя формулы 1, 2 таблицы основных интегралов, получим

Замечание. Нет необходимости ставить произвольную постоянную после вычисления каждого интеграла, т.к. их сумма есть также произвольная постоянная, которую обозначают одной буквой и записывают в окончательный ответ.

Пример 2.Найти .

Решение.Возведём двучлен в квадрат и запишем каждое слагаемое в виде степенной функции, затем, произведя почленное деление и применив формулы 2, 3 таблицы основных интегралов, получим

Пример 3. Найти .

Решение. Заменив единицу в числителе выражением sin²x+cos²x и почленно разделив числитель на знаменатель, получим

Пример 4.Найти .

Решение.Прибавим и вычтем х² в числителе подынтегральной функции, вынесем за скобки х² в знаменателе и почленно разделим числитель на знаменатель. Получим:

Пример 5.Найти .

Решение.Воспользуемся формулой тригонометрии . Тогда получим

2.5.4.2.Метод подстановки

Во многих случаях удаётся введением вместо х новой переменнойt, связанной с хнекоторым соотношением, свести к новому интегралу, который содержится в таблице или легко находится другим методом.

Этот метод получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.

Теорема: Пусть – непрерывная функция и дан интеграл . Вместо х введём новую переменную t, связанную с хсоотношением , где – непрерывная, строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную . Тогда

На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Пример 1.Найти .

Решение. Пусть , тогда .

Подставляя в исходный интеграл, получим: .

Пример 2. Найти

Решение. Пусть

Пример 3.

Пример 4.Найти .

Решение. Пусть . .

Подставляя в исходный интеграл выражения его частей через t, получим:

При сведении данного интеграла к табличному часто приходится использоватьинтегрирование подведением под знак дифференциала. Данный способ очень простой в своей основе, позволяет приводить интеграл к табличному, используя свойство инвариантности формул интегрирования, независимо от того, что является переменной интегрирования - независимая переменная х или функция U(х),т.е. если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(U)dU=F(U)+C.

Таблица подведения функций под знак дифференциала